Визначення логарифмічного декременту

ЗАГАСАННЯ КОЛИВАНЬ ФІЗИЧН0ГО МАЯТНИКА

Мета роботи: 1) вивчити загасаючі коливання; 2) визначити логарифмічний декремент загасання і коефіцієнт загасання коливань.

 

Фізичний маятник, що використовується в даній роботі, має вигляд стержня з тягарцем на кінці /рис.1/. Стержень підвішений на кронштейні за допомогою шарикового підшипника. На підставці у площині коливань встановлено шкалу, яка дозволяє вимірювати амплітуду. Наявність сил тертя призводить до того, що енергія маятника, який вільно коливається, витрачається на роботу з їх подолання і з часом зменшується. В результаті цього зменшується амплітуда коливань. Отже, вільні /власні/ коливання завжди загасають і тому, строго кажучи, не є гармонічними. Амплітуда цих загасаючих коливань зменшується за експоненціальним законом:

 

 

 

. (1)

Тут A₀ – амплітуда в початковий момент часу, t=0; – параметр системи, який називається коефіцієнтом загасання. Згідно з рівнянням (1) за час амплітуда загасаючих коливань зменшується в e разів. Величину називають часом релаксації системи; за цей час відбувається повних коливань (тут T – період коливань).

Коефіцієнт загасання враховує наявність сил тертя (за відсутності тертя =0). Для зміни величини фізичний маятник, що використовується в даній роботі, має поновлюючи пружини. Для характеристики загасання коливань поряд з коефіцієнтом загасання користуються безрозмірною величиною , яка називається

декрементом загасання (або логарифмічним декрементом).

Логарифмічний декремент загасання визначається як натуральний логарифм відношення амплітуд, що відрізняються за часом, на період:

. (2)

 

Виходячи з формули (1), можна довести, що для будь-якого цілого числа n має місце співвідношення

(3)

Порядок виконання роботи

1. За допомогою установочних гвинтів встановлюють підставку маятника горизонтально.

2. За відсутності поновлюючих пружин відхиляють маятник на невеликий кут ( 10°), відраховують по шкалі кількість поділок A₀ (тут A₀=A(0)) і відпускають маятник. Потім відраховують n =10 повних коливань і знову вимірюють амплітуду. Результат позначають через A_n ( тут A_n A(nT)).

3. Встановлюють те ж саме значення A₀ і повторюють вимірювання (див. п.2) для n = 20, ЗО, 40, 50, 60, 70. Результати заносять у табл.1.

4. Вимірювання (див.п.п.2,3) повторюють за наявності поновлюючих пружин. Результати заносять у табл.2.

5. Обчислюють значення та і заносять їх у відповідні таблиці.

6. Для маятника з пружинами і без них будують на одному і тому ж самому графіку за даними таблиці І та 2 залежності відношення амплітуд від кількості коливань n. Одержані криві порівнюють між собою.

7. Для маятника з пружинами будують графік, відкладаючи по осі абсцис кількість коливань n, а по осі ординат – значення . Логарифмічний декремент загасання визначають, знаходячи нахил одержаної прямої лінії (див. рис.2, де хрестиком позначено експериментальні точки):

.

8. Аналогічно обчислюють логарифмічний декремент загасання δ₀ для маятника без пружин.

9. За допомогою секундоміра визначають періоди Т і Т _о коливань маятника з пружинами і без них, вимірюючи проміжки часу t 50 повних коливань:

; .

Розраховують коефіцієнт загасання , маятника з пружинами і без них та відповідний час релаксації

, .

Розрахунки заносять у табл.3.

 

1. Результати розрахунків для маятника без пружин; А₀=…

N	An	A0 / An	ln(A0 / An)
…

2. Результати розрахунків для маятника з пружинами; А₀=…

n	An	A0 / An	ln(A0 / An)
…

3.

№ п/п	Результати непрямих вимірювань	Результати непрямих вимірювань
t 0, c	t, c	T 0, c	β 0, c^-1	τ 0, c	T, c	β, c^-1	τ, c

Запитання та вправи для самоконтролю

1. Складіть диференціальне рівняння власних незагасаючих коливань і залишіть його розв'язок.

2. Складіть диференціальне рівняння власних коливань з урахуванням сил тертя; запишіть його розв'язок і зробіть аналіз.

3. Як залежить амплітуда загасаючих коливань від часу? Запишіть вираз і проілюструйте графіком.

4. Що таке коефіцієнт загасання? Який його фізичний зміст?

5. Дайте визначення логарифмічного декременту загасання; покажіть, як він зв'язаний з коефіцієнтом загасання і розкрийте його фізичний зміст.

РОБОТА 2.1