Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференцирование векторных величинСодержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Производная вектора. Рассмотрим вектор , который изменяется по закону: , где t – время, тогда производная вектора по переменной t равна: Дифференциалом (приращением) функции называется выражение , тогда, используя выражение для производной вектора , получим дифференциал вектора : Производная произведения векторов. Производная от скалярного и векторного произведения осуществляется по известным формулам: (Примечание: некоторые понятия векторного анализа – градиент, циркуляция, ротор, а также элементы теории вероятности – мы рассмотрим в дальнейшем по ходу курса). 2. Кинематика поступательного движения. Любое механическое движение тела можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движений. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной самой себе. При этом скорости всех точек тела одинаковы. Для того чтобы описать движение, нужно задать систему отсчёта – это тело отсчёта, которое условно считается неподвижным, система координат, связанная с телом отсчёта, и прибор для измерения времени («часы»). Принцип относительности Галилея: механические явления и форма законов, их описывающих, не изменяются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) в другую (напомним, что ИСО называется такая система отсчёта, в которой выполняется 1-й закон Ньютона). Никакими механическими опытами нельзя определить, покоится ли данная СО или движется прямолинейно и равномерно. Преобразования Галилея. Пусть имеется две ИСО. Система отсчёта К, которую будем считать неподвижной, и система , которая будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью V0 (рис. 1.7). Рис. 1.7 Выберем координатные оси X, Y, Z системы К и оси , , системы , так чтобы оси X и совпадали, а Y и , а также Z и были параллельными друг другу. Найдём связь между координатами x, y, z некоторой точки Р в системе К и координатами , , той же точки в системе . Если начать отсчёт времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадает, то из рисунка следует: Продифференцировав эти уравнения по времени, можно получить связь проекций скоростей точки Р в системах К и на оси координат: Причём время в обеих системах отсчёта согласно классическим представлениям . Заметим, что при скоростях , сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея должны быть заменены на более общие преобразования Лоренца. При описании движения микрочастиц используются методы квантовой механики. 3. Понятие материальной точки. Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой. Линия, которую описывает материальная точка при своём движении, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное, криволинейное, движение по окружности и т.п. Пусть материальная точка (частица) переместилась по некоторой траектории из точки 1 в точку 2. Расстояние между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется путём (обозначен ). Прямолинейный отрезок, проведённый из точки 1 в точку 2, называется перемещением, или вектором перемещения (обозначен ) (рис. 1.8). Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения частицы. Разобьём траекторию на участки , каждому из которых соответствует перемещение (рис. 1.9). По определению
Таким образом, скорость есть производная радиус-вектора частицы по времени. Перемещение совпадает с бесконечно малым элементом траектории. Следовательно, вектор направлен по касательной к траектории.
Модуль скорости . При , тогда т.е. модуль скорости равен производной пути по времени. Вектор скорости, как и любой вектор, можно выразить через его компоненты , , :
Модуль скорости: Свяжем компоненты скорости с компонентами радиус-вектора , производная: , сравнивая выражения и для , получим: т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующих координат движущейся частицы. Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости по величине и направлению. По определению ускорения : Легко показать (читатель сам может это проверить), что , , . 4. Радиус кривизны траектории. Можно показать, что в общем случае при движении по криволинейной траектории с переменной скоростью вектор ускорения можно представить в виде: , или , где
Первое слагаемое – тангенциальное ускорение , характеризующее изменение скорости по абсолютной величине, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории () (рис. 1.10). Второе слагаемое – нормальное (центростремительное ускорение), характеризующее изменение скорости по направлению, где – единичный вектор нормали, направленный перпендикулярно скорости и по модулю равный единице: ; – радиус кривизны, представляющий собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом её участке. Центр такой окружности называется центром кривизны для данной точки кривой (рис. 1.11). Пример решения задачи на кинематику поступательного движения материальной точки.
Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определения скалярного и векторного произведения векторов. 2. Что такое радиус-вектор? 3. Какое движение называется поступательным? 4. В чём заключается принцип Галилея? Что устанавливают преобразования Галилея? 5. Что такое скорость? Как найти модуль скорости? 6. Какова ориентация векторов тангенциального и нормального ускорений? Запишите соответствующие выражения для них.
Лекция № 2
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; просмотров: 1078; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.52.243 (0.008 с.) |