Приклади розв’язування задач

Приклад 9.12. В незатухаючій біжучій хвилі задана точка , що знаходиться на відстані від джерела коливань. Амплітуда коливань м. Вважаючи, що в початковий момент часу зміщення точки , яка знаходиться в джерелі, максимальне, визначити зміщення від положення рівноваги точки для моменту , а також різницю фаз коливань точок і .

Розв’язок: Зміщення точки можна знайти за допомогою рівняння біжучої хвилі (26а). Використовуючи умову задачі, перетворимо це рівняння так, щоб в нього ввійшли довжина хвилі і період коливань. Враховуючи співвідношення і рівність , одержимо:

(1)

Щоб знайти початкову фазу , скористаємося початковими умовами задачі: якщо , то . При цих значеннях з рівняння (1) маємо , звідки .

Тепер, підставивши числові значення величин в (1), отримаємо першу відповідь:

м.

Для знаходження різниці фаз коливань точок і врахуємо, що для точки координата . Отже, в будь-який момент фаза точки , тобто аргумент синуса в (1), дорівнює . Тоді:

(2)

Цей же результат можна отримати зразу з формули , якщо покласти в ній . Підставивши у (2) числове значення відношення , знайдемо:

.

Таким чином, коливання точки відстають по фазі від коливань джерела на кут .

 

Приклад 9.13. Для визначення частоти звукових коливань був застосований інтерференційний прилад, зображений на рисунку, де - джерело звуку; - два коліна, що являють собою порожнисті металеві трубки (коліно - може висуватися); - слухова трубка. В залежності від положення коліна спостерігач реєструє з допомогою слухової трубки підсилення чи послаблення звуку. Для того, щоб перейти від одного мінімуму звуку до іншого, переміщають висувне коліно на відстань см. Вважаючи швидкість звуку в повітрі при температурі досліду рівною м/с, знайти частоту звукових коливань.

Рис. 9.5

Розв’язок: В точці відбувається інтерференція звукових хвиль, що приходять сюди від джерела різними шляхами: і . Результат інтерференції хвиль виражається умовами (32). Перемістивши коліно на відстань , змінюють тим самим різницю ходу хвиль на величину :

(1)

де і - різниця ходу в початковому і кінцевому положеннях коліна. Оскільки в обох положеннях гучність звуку і пов’язана з нею амплітуда звукових коливань мінімальні, то кожна з величин і визначається умовою мінімуму:

, (2)

При цьому, оскільки переміщення коліна відповідає двом сусіднім мінімумам звуку, повинно виконуватися співвідношення:

(3)

Враховуючи (3), віднімемо почленно рівняння (2). Тоді одержимо:

(4)

Порівнюючи вирази (1) і (2), маємо:

Тепер знайдемо частоту звукових коливань:

.

Підставивши в формулу числові значення величин, отримаємо:

Гц =3,1 кГц.

 

Приклад 9.14. Мідний стержень довжиною м закріплений у середній частині. Знайти частоти можливих власних поздовжніх коливань стержня.

Розв’язок: Якщо будь-якій частинці пружного тіла надати початковий імпульс (наприклад вдарити молотком по торцю стержня), то всі частинки тіла прийдуть в коливальний рух – в тілі встановляться власні коливання. Процес поширення коливань у закріпленому стержні являють собою стоячі хвилі. Ці хвилі є результатом інтерференції двох зустрічних систем біжучих хвиль: падаючих на межу тіла з оточуючим середовищем і відбитих від цієї межі.

Частота власних коливань в стержні пов’язана з довжиною біжучої хвилі співвідношенням (24). При цьому швидкість поздовжніх хвиль в мідному стержні можна знайти за формулою:

.

Рис. 9.6

Величини , для міді табличні, і наша задача зводиться до визначення довжин хвиль, що відповідають власним коливанням стержня. Цим коливанням завжди відповідає такий розподіл по довжині тіла стоячих хвиль, які задовольняють граничним умовам: на закріпленому кінці тіла повинен бути вузол зміщень, на вільному – пучність. Отже, на кінцях даного стержня повинні бути пучності зміщень, а посередині його – вузол зміщень, оскільки в цьому місці стержень закріплений. Один з можливих варіантів розподілу стоячих хвиль по довжині стержня зображений на рис. 9.6.

Тут по осі відкладені відстані точок стержня від його лівого кінця, по осі - зміщення точок стержня від положення рівноваги, які вони мають в деякий момент часу, беручи участь в поздовжніх коливаннях (пунктиром зображений графік зміщення через проміжок часу ). Точки - вузли стоячої хвилі.

З графіка видно, що на всій довжині стержня (від до ) повинно вкладатися парне число півхвиль і ще дві чверті хвилі. Таким чином маємо:

, ….

Звідси

Підставивши це значення в формулу для частоти, отримаємо відповідь:

.

Взявши з таблиць значення Н/м², кг/м³ і виконавши обчислення, знайдемо:

Гц.

Значення дає основну частоту власних коливань Гц. Значення відповідають вищим гармонічним частотам.

 

Приклад 9.15. Джерело звуку частотою Гц рухається зі швидкістю м/с, віддаляючись від нерухомого приймача звуку і наближаючись при цьому до стінки . Визначити частоту биттів, які реєструються приймачем звуку. Швидкість звуку м/с

Рис. 9.7

Розв’язок: Биття виникають в результаті додавання коливань з частотами, що мало відрізняються між собою. При цьому частота биттів дорівнює різниці частот коливань, що додаються. З’ясуємо виникнення биттів у даному випадку.

Приймача досягають звукові хвилі безпосередньо від джерела , а також хвилі, відбиті від стінки. Досягнувши приймача, ці дві системи хвиль збіднять в ньому коливання різних частот. Дійсно, джерело звуку віддаляється від нерухомого приймача . Внаслідок ефекту Допплера приймач зареєструє коливання частотою . Поклавши в формулу (35) і враховуючи, що, згідно правила знаків, , оскільки джерело віддаляється від приймача, отримаємо

(1)

В той же час джерело звуку наближається до стінки. Тому частоту коливань , що сприймається стінкою, знайдемо знову за формулою (35), де і , отже:

(2)

Сприймаючи коливання частотою стінка сама стає джерелом звукових хвиль такої ж частоти , які, дійшовши до приймача , збудять в ньому коливання частотою і в результаті виникнуть биття, частоту яких знайдемо, використовуючи формули (1),(2):

Гц.

 

Приклад 9.16. Від джерела, розташованого біля поверхні Землі, поширюються звукові хвилі. Через який проміжок часу вони досягнуть висоти км, якщо температура повітря біля поверхні Землі С, а градієнт температури в атмосфері К/м.

Розв’язок: Щоб знайти час поширення хвилі, знаючи її переміщення , з’ясуємо спочатку, яка швидкість звуку у вертикальному напрямі. Швидкість звуку в повітрі визначається формулою (37), де . Можна показати, що при цьому швидкість залежить від температури повітря. Дійсно, оскільки , то, застосувавши рівняння газового стану, отримаємо

(1)

За умовою задачі температура повітря залежить від висоти. Цю залежність можна записати так:

(2)

де - температура на висоті , - градієнт температури, що показує приріст (в даному випадку від’ємний) температури на кожний метр висоти. Підставивши значення з (2) в (1), маємо:

(3)

Таким чином, швидкість звуку залежить від висоти. Щоб знайти шуканий час, будемо розглядати рух звукової хвилі як змінний. В такому випадку швидкість в будь-який момент часу дорівнює , звідки з урахуванням формули (3)

Це диференціальне рівняння, що виражає залежність часу від висоти. При зміні часу від до висота змінюється від до . Отже,

,

звідки

Підставивши числові значення величин і виконавши обчислення, отримаємо:

с.