Приклади розв’язування задач.

Приклад 9.1. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання з частотою Гц і амплітудою см. Визначити середні значення швидкості і прискорення точки на шляху від її крайнього положення до положення рівноваги, а також знайти максимальні значення цих величин: і .

Розв’язок: За означенням середньої швидкості маємо:

(1)

де - шлях, пройдений за час . В даному випадку ; , оскільки за період точка, що здійснює коливання, проходить шлях рівний чотирьом амплітудам. Підставивши ці значення і в (1) і враховуючи співвідношення , одержимо:

.

За формулою (2), поклавши , знайдемо максимальну швидкість:

. (3)

Згідно означення середнього прискорення, запишемо

(4)

де . В даному випадку початкова швидкість , кінцева швидкість . Підставимо значення і у формулу (4), використовуючи співвідношення :

. (5)

За формулою (3), прийнявши , знайдемо максимальне прискорення:

. (6)

Підставивши у формули (2), (3), (5) і (6) числові значення величин, одержимо:

см/с, см/с², см/с, см/с².

Зауваження: Перевіркою легко переконатися в тому, що середні величини і на шляху від крайнього положення до положення рівноваги точки, що коливається, не дорівнюють середньому арифметичному між початковим і кінцевим значеннями цих величин. Методом середнього арифметичного для знаходження і тут користуватися неможна, оскільки швидкість і прискорення при гармонічному коливанні не є лінійними функціями часу.

 

Приклад 9.2. За яку частину періоду точка, що здійснює гармонічні коливання, пройде шлях, рівний:

1) половині амплітуди, якщо в початковий момент вона знаходилася в положенні рівноваги;

2) одній третини амплітуди, якщо в початковий момент вона знаходилася в крайньому положенні?

Рис. 9.1

Розв’язок: 1. Шлях , пройдений точкою, що здійснює гармонічне коливання, при русі від положення рівноваги до крайнього положення, дорівнює зміщенню , що визначається з рівняння (1), яке запишемо у вигляді:

(1)

Щоб знайти початкову фазу , скористаємося початковими умовами задачі: при . Підставивши ці значення і в (1), одержимо , отже

(2)

Підставивши в (2) значення , одержимо шуканий час, виражений в долях періоду:

.

 

2)Точка рухається з крайнього положення, тому початкові умови будуть такі: при . Підставивши ці значення і в рівняння (1), одержимо, . Отже

(3)

Щоб уникнути помилки, врахуємо, що вихідне рівняння (1) виражає зміщення точки при гармонічному коливанні, відрахованому від положення рівноваги, але не шлях, пройдений точкою; тільки в частковому вигляді руху точки з положення рівноваги до крайнього положення ці величини чисельно рівні (цим ми скористалися в першому випадку). Якщо точка, рухаючись з крайнього положення, пройшла шлях , то, як видно з рисунка, її зміщення дорівнює . Підставивши це значення в формулу (3), одержимо . Звідси, користуючись таблицею косинусів, знайдемо шуканий час в долях періоду:

, .

 

Приклад 9.3. Матеріальна точка бере участь в трьох коливаннях, що здійснюються вздовж однієї прямої і задаються рівняннями:

(1)

(2)

(3)

Зміщенні задані в сантиметрах. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання. Записати його рівняння.

Розв’язок: Точка бере участь в трьох гармонічних коливаннях, оскільки зміщення , , , є синусоїдальними (косинусоїдальними) функціями часу. Результуюче коливання точки також буде гармонічним. Його амплітуду і фазу можна знайти за формулами (13) і (14). Однак вони виведені для випадку, коли рівняння коливань, що додаються, містять одну і ту ж тригонометричну функцію: синус або косинус. Тому перепишемо рівняння (3), виразивши через косинус:

(3а)

Порівнявши (1), (2), (3а) із загальним рівнянням зміщення гармонічних коливань, бачимо, що коливання, які додаються, характеризуються наступними величинами: амплітуди см, циклічні частоти рад/с, початкові фази , , .

За допомогою формул (13) і (14) можна спочатку додати будь-які два з трьох заданих коливань. Потім, ще раз застосувавши ці формули, знайти амплітуду і початкову фазу результуючого коливання.

Рис. 9.2

До цього ж результату прийдемо швидше, застосувавши метод векторних діаграм. Суть його полягає в тому, що амплітуду і початкову фазу результуючого коливання знаходять шляхом додавання векторів. Довжина кожного вектора береться рівною амплітуді відповідного коливання, а кут, утворений вектором з віссю - початковій фазі. Величини і визначаються довжиною результуючого вектора і кутом його нахилу до осі .

На рисунку побудована векторна діаграма згідно даних умови задачі. З графіка зразу отримуємо:

,

, тобто см. Тепер запишемо рівняння результуючого коливання: .

 

Приклад 9.4. Відомо, що складне коливання, графік якого наведено на рисунку, складається з двох синусоїдальних коливань. Знайти їх частоти і амплітуди.

Рис. 9.3

Розв’язок: Наведений графік зображає гармонічне коливання амплітуда якого повільно періодично змінюється. Таке коливання, що називається биттям, одержуються в результаті додавання двох однаково напрямлених гармонічних коливань з частотами, що мало відрізняються. При цьому частота складних коливань виявляється рівною пів сумі частот коливань і , що додаються:

(1)

А частота зміни амплітуди, яка називається частотою биття, дорівнює різниці частот:

(2)

З графіка видно, що за одну секунду відбулося дев’ять повних коливань, отже Гц. За цей час відбулося два повних цикли зміни амплітуди, отже Гц. Підставивши в (1) і (2) значення , і розв’язавши цю систему рівнянь, знайдемо:

=8 Гц, =10 Гц.

Амплітуда складного коливання в кожний момент визначається за формулою (13). При цьому її максимальне значення при рівне:

(3)

Мінімальне значення амплітуди одержимо при :

(4)

Але з графіка видно, що =2 см, =0. Підставивши ці значення і в (3) і (4), знайдемо см.

 

Приклад 9.5. Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, виражених рівняннями ; (зміщення задані в сантиметрах). Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати її на графіку. Показати напрям руху точки. Визначити швидкість і прискорення точки в момент часу с.

Рис. 9.4

Розв’язок: Оскільки циклічні частоти коливань, що додаються, однакові, траєкторією точки буде еліпс. Виключивши час з двох заданих рівнянь, одержимо:

Це канонічне рівняння еліпса з півосями см і см. Щоб визначити напрям руху точки, врахуємо, що в момент маємо , см і, отже, точка знаходиться в положенні (див. рисунок). При збільшенні збільшується також , отже точка рухається по траєкторії проти стрілки годинника.

Швидкість точки при її русі по еліпсу дорівнює векторній сумі швидкостей і коливань, що додаються. Оскільки ці коливання взаємно перпендикулярні, то

(1)

Аналогічно знайдемо шукане прискорення:

(2)

За формулами (2) і (3) маємо:

Підставивши ці значення в формули (1) і (2), знайдемо:

Взявши с і виконавши обчислення, отримаємо: см/с, см/с².

Зауваження. Було б помилкою шукати прискорення як похідну . Величина виражає тангенціальне прискорення точки, що рухається, але не повне прискорення . При криволінійному русі .

 

Приклад 9.6. Куля радіусом см, підвішена на нитці довжиною см. Визначити відносну похибку, яку допускають, коли обчислюють період коливань маятника, вважаючи його математичним маятником довжиною см.

Розв’язок: Куля, що висить на нитці, являє собою фізичний маятник. Його період виражається формулою (12). Якщо прийняти маятник за математичний, то його період потрібно знаходити за формулою (10), вважаючи згідно умови довжину рівною відстані від точки підвісу до центра ваги кулі:

(1)

Таким чином, вважаючи маятник математичним, ми замінюємо кулю матеріальною точкою, розташованою в її центрі, що викликає деяку похибку в обчисленні періоду.

Знайдемо відношення періодів і :

(2)

Момент інерції кулі відносно осі коливань рівний

Підставивши це значення в (2), одержимо:

.

Звідси знайдемо відносну похибку в обчисленні періоду:

або 2,2%.

 

Приклад 9.7. Тіло, що нерухомо висить на циліндричній пружині, розтягує її на см. Потім тіло було зміщене з положення рівноваги по вертикалі і відпущене, в результаті чого воно стало здійснювати коливання. Знайти їх період.

Розв’язок: Якщо б тіло здійснювало коливання тільки під дією сили пружності пружини , їх період можна було б визначити за формулою (11). В даному випадку на тіло ще діє сила тяжіння . Щоб з’ясувати її вплив на коливання вантажу, розглянемо сили, що діють на тіло, в двох положеннях:

1) тіло нерухомо висить на пружині.

Рівнодійна сил, прикладених до тіла, . Прийнявши напрям вниз за додатній, запишемо

(1)

2) тіло зміщене з положення рівноваги на .

Будемо вважати величиною алгебраїчною. Пружина в цьому випадку розтягнулася на . Рівнодійна сил, прикладених до тіла, рівна:

.

Розкриваючи дужки і враховуючи (1), одержимо:

. (2)

З (2) видно, що рівнодійна сил і пропорційна до розтягу пружини і протилежна йому за напрямом, якщо тільки цей розтяг відраховувати від положення рівноваги вантажу, що висить на пружині. Отже, і при наявності сили тяжіння тіло буде здійснювати гармонічні коливання. З формулою (11) де, згідно (1) , знайдемо період цих коливань:

с.

 

Приклад 9.8. Ареометр масою 55 г, що плаває в розчині сірчаної кислоти, показує, що густина рідини г/см3. Якщо прилад змістити трохи з положення рівноваги по вертикалі і відпустити, він почне коливатися. Вважаючи коливання незгасаючими, визначити їх період, якщо радіус циліндричної трубки ареометра, в якому знаходиться його шкала, дорівнює см.

Розв’язок: На занурений в рідину ареометр діють дві сили: сила тяжіння і виштовхувальна Архімедові сила , що рівна вазі витісненої тілом рідини: , де - об’єм витісненої рідини, рівний об’єму зануреної частини ареометра. Як і в попередній задачі, з’ясуємо співвідношення між діючими силами в двох випадках:

1) ареометр знаходиться в рівновазі.

Прикладені до нього сили врівноважуються. Прийнявши напрям вниз за додатній, запишемо:

(1)

2) ареометр зміщений з положення рівноваги по вертикалі на величину ( - алгебраїчна величина).

Оскільки зміниться об’єм зануреної частини приладу, виштовхувальна сила також зміниться. До ареометра буде прикладена рівнодійна, напрямлена по вертикалі вгору і рівна

(2)

де - зміна об’єму зануреної частини приладу. Підставимо це значення у (2) і розкривши дужки, одержимо з врахуванням (1)

(3)

де - стала величина. Бачимо, що на ареометр діє сила, пропорційна зміщенню, взятому з протилежним знаком, тобто квазіупружна сила. Отже він здійснює гармонічні коливання, період яких дорівнює:

с.

 

Приклад 9.9. Енергія згасаючих коливань маятника, що відбуваються в деякому середовищі, за час хв. зменшилася в разів. Визначити коефіцієнт опору, якщо маса маятника кг.

Розв’язок: Коефіцієнт опору пов'язаний з коефіцієнтом згасання і масою тіла співвідношенням

(1)

Щоб знайти величину , звернемося до рівняння згасаючих коливань (17). Множник

(2)

виражає амплітуду коливань, що зменшується з часом. Енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди. Отже, позначивши початкову і кінцеву енергію коливань через і , можна записати:

; (3)

Тепер з (2) і (3) маємо . Логарифмуючи, знаходимо:

Підставивши знайдене значення в (1), одержимо відповідь:

,

Підставляючи числові значення в останнє рівняння, одержимо: кг/с.

 

Приклад 9.10. Гиря масою 0,500 кг підвішена до пружини, жорсткість якої Н/м, і здійснює згасаючі коливання. Визначити їх період у двох випадках:

1) за час, протягом якого відбулося коливань, амплітуда зменшилася в рази;

2) за час двох коливань () амплітуда зменшилась в разів.

Розв’язок: Опір середовища зменшує частоту вільних коливань. Циклічна частота згасаючих коливань визначається за формулою

,

звідки період рівний

(1)

Власну циклічну частоту виразимо через формулу періоду пружинного маятника, знаючи масу гирі і жорсткість пружини:

рад/с. (2)

Коефіцієнт згасання неможна знайти безпосередньо з умови задачі. Згідно формули (19) він дорівнює

(3)

Щоб знайти величину скористаємося рівнянням згасаючих коливань. Амплітуду, що зменшується з часом, виразимо наступним чином:

. (4)

Користуючись введеними позначеннями, можна записати: , тоді з (4) випливає , звідки, логарифмуючи, маємо:

.

Підставивши числові значення і для двох випадків, виконаємо обчислення: .

Тепер перепишемо формулу (1) з урахуванням (3):

.

Одержали квадратне рівняння відносно періоду . Розв’язавши його, знайдемо (відкинувши від’ємний корінь)

(5)

Приступаючи до обчислень, зауважимо, що в першому випадку . Тому, зберігаючи достатньо високу точність обчислень, можна в формулі (5) знехтувати членом і тоді:

с.

У другому випадку неможна відкидати величину . Тоді, виконуючи обчислення по (5), одержимо

с.

 

Приклад 9.11. Чому дорівнює амплітуда вимушених коливань при резонансі , якщо при дуже малій (порівняно з власною) частоті вимушених коливань вона рівна см, а логарифмічний декремент згасання ?

Розв’язок: Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти вимушуючої сили (9.22). При деякому значенні , що визначається умовою , настає явище резонансу: амплітуда досягає максимального значення . Величину виразимо за формулою (9.23)

,

де .

З формули (9.22) можна також вивести просте співвідношення між величинами і . Враховуючи співвідношення, що випливають з умови задачі:

1) ;

2) , звідки випливає, що , відкинемо члени і у (22):

Підставивши це значення в формулу (1) і нехтуючи величиною у порівнянні з , одержимо:

(2)

Виразимо власну частоту і коефіцієнт згасання за формулами

; .

Тут - період вільних коливань при відсутності опору; - період згасаючих коливань, які почались би після припинення дії вимушуючої сили. Підставивши ці значення і у співвідношення (2) і враховуючи, що при слабкому згасанні , знайдемо остаточну відповідь:

см.