Критерий t-Стьюдента для независимых выборок

 

Это один из наиболее известных параметрических критериев, применяемый для определения того, относятся две выборки к одной генеральной совокупности или нет, или, по-другому, для установления того, насколько сильно различаются средние значения двух распределений:

 

Число степеней свободы df = (N₁ – 1) + (N ₂ – 1).

 

Пример:

 

Профессор Персиков обнаружил неприятный факт: студенты 2 и 3 курса (Y) демонстрируют более низкий уровень успеваемости, чем студенты 1 курса (X). «Возможно, это связано с изменением уровня коэффициента интеллекта у студентов старших курсов, если меняется уровень интеллекта – меняется успеваемость», - делает предположение профессор. Помогите профессору выяснить, меняется ли уровень коэффициента интеллекта. Предположения о нормальности распределения и однородности дисперсий выполняются.

 

Решение задачи: для удобства представим расчеты в таблице.

 

№	Х	Y	(xi – M x)	(yi – M y)	(xi – M x)2	(yi – M y)2
1	96	91	1	-10	1	100
2	85	92	-10	-9	100	81
3	86	98	-9	-3	81	9
4	92	111	-3	10	9	100
5	105	106	10	5	100	25

 

6	100	103	5	2	25	4
7	97	97	2	-4	4	16
8	91	108	-4	7	16	49
9	102	99	7	-2	49	4
10	93	101	-2	0	4	0
11	95	104	0	3	0	9
12	98	103	3	2	9	4
13	97	99	2	-2	4	4
14	93	101	-2	0	4	0
15	95	102	0	1	0	1
Σ			0	0	406	406

 

M_x = 95; M_y = 101. Подставляя результаты расчетов предложенную выше формулу, получаем t = 2,54.

 

Для того, чтобы сформулировать статистический вывод, необходимо сопоставить рассчитанный эмпирический критерий t с теоретическим. Для этого обратимся к таблице критических значений в Приложении 4. Число степеней свободы df = 28. Теоретическое значение критерия t для р-уровня = 0,05 составляет 2,05; для р-уровня = 0,01 составляет 2,76; для р-уровня = 0,001 составляет 3,67. Эмпирическое значение выше первого представленного теоретического значения, соответственно мы можем отклонить основную гипотезу и принять альтернативную о наличии различий между двумя группами в выраженности количественного признака.

 

Ответ: t = 2,54; р ≤ 0,05. Коэффициенты интеллекта студентов 1 и 2-3 курсов статистически достоверно отличаются, то есть уровень интеллекта меняется.

 

Задания для самостоятельной работы:

 

Профессор Персиков обнаружил неприятный факт: студенты 2 и 3 курса (Y) демонстрируют более низкий уровень успеваемости, чем студенты 1 курса (X). «Возможно, это связано с изменением уровня коэффициента интеллекта у студентов старших курсов, если меняется уровень интеллекта – меняется успеваемость», - делает предположение профессор. Помогите профессору выяснить, меняется ли уровень коэффициента интеллекта. Предположения о нормальности распределения и однородности дисперсий выполняются.

 

А	1	96	86	87	93	105	102	97	92	106	95	94	100	98	94	95

2,3