Коэффициент корреляции Пирсона

 

Коэффициент является прямой линейной мерой взаимосвязи двух величин, основанный на подсчете суммы произведений центральных отклонений каждой из двух переменных. Коэффициент корреляции будет тем больше, чем больше соответствуют друг другу величины центральных отклонений обоих признаков.

Расчетная формула коэффициента корреляции Пирсона (r_xy), удобная для проведения расчетов вручную, выглядит следующим образом:

 

 

Пример:

Школьница Таня заинтересована вопросом, связана ли ее улыбка с неравнодушным отношением к ней со стороны школьника Вани. Поэтому она решила каждый день записывать, сколько раз она улыбалась при виде Вани, и сколько раз он дергал ее за косички. Этим она занималась целый месяц, 26 учебных дней. С помощью коэффициента корреляции Пирсона сделайте вывод о взаимосвязи. Какой вывод может сделать Таня относительно эффективности своей улыбки?

 

Решение задачи: для удобства, отобразим расчеты в таблице.

 

	№	Х	Y	(x i – M x)	(y i – M y)	(x i – M x) ^2	(y i – M y) ^2	(x i – M x) (y i – M y)
	1	1	2	-4	-4	16	16	16
	2	2	4	-3	-2	9	4	6
	3	3	5	-2	-1	4	1	2
	4	5	7	0	1	0	1	0
	5	6	7	1	1	1	1	1
	6	5	4	0	-2	0	4	0
	7	7	8	2	2	4	4	4
	8	3	3	-2	-3	4	9	6
	9	8	2	3	-4	9	16	-12
	10	9	6	4	0	16	0	0
	11	10	10	5	4	25	16	20
	12	9	8	4	2	16	4	8
	13	1	2	-4	-4	16	16	16
	14	0	4	-5	-2	25	4	10
	15	2	4	-3	-2	9	4	6
	16	4	4	-1	-2	1	4	2
	17	4	6	-1	0	1	0	0
	18	8	10	3	4	9	16	12
	19	7	11	2	5	4	25	10
	20	5	6	0	0	0	0	0
	21	3	4	-2	-2	4	4	4
	22	4	5	-1	-1	1	1	1
	23	6	8	1	2	1	4	2
	24	6	9	1	3	1	9	3
	25	7	10	2	4	4	16	8
	26	5	7	0	1	0	1	0
	Σ			0	0	180	180	125
	Mx = 5; My = 6. Подставим результаты расчетов в исходную формулу и произведем
вычисления. r =			0,69.

 

Для того, чтобы сформулировать статистический вывод, необходимо сопоставить рассчитанный эмпирический коэффициент корреляции с теоретическим. Для этого обратимся к таблице критических значений в Приложении 2. Теоретическое значение коэффициента корреляции для р-уровня = 0,05 составляет 0,39; для р-уровня = 0,01 составляет 0,50; для р-уровня = 0,001 составляет 0,61. Эмпирическое значение выше любого из представленных теоретических значений, соответственно мы можем отклонить основную гипотезу и принять альтернативную о наличии взаимосвязи двух переменных.

 

Ответ: r = 0,69; р ≤ 0,001. Улыбки Тани и реакции Вани связаны на очень высоком уровне статистической значимости: чем больше улыбок, тем больше реакций.

 

Задания для самостоятельной работы:

 

Школьница Таня заинтересована вопросом, связана ли ее улыбка с неравнодушным отношением к ней со стороны школьника Вани. Поэтому она решила каждый день записывать, сколько раз она улыбалась при виде Вани, и сколько раз он дергал ее за косички. Этим она занималась целый месяц, 26 учебных дней. С помощью коэффициента корреляции Пирсона сделайте вывод о взаимосвязи. Какой вывод может сделать Таня относительно эффективности своей улыбки?

 

А	Танины улыбки	0	1	2	4	5	4	6	2	7	8	9	7	1	0	1	3	3	5	1 4		4	8	5	5	6	3
	Реакции Вани	3	4	5	7	7	4	8	3	2	6	9	8	2	4	4	4	6	10		11	6	4	5	8	9	10	7
B	Танины улыбки	0	1	2	4	5	4	6	2	7	8	9	8	0	0	1	3	3	5	6 4		4	3	5	5	6	3
	Реакции Вани	3	4	5	7	7	4	8	3	2	6	9	8	2	4	4	4	6	10		11	6	4	5	8	9	10	7
C	Танины улыбки	8	0	6	5	3	8	6	3	3	9	1	4	7	5	2	4	7	6	1 7		10 5 5 4 2 9
	Реакции Вани	11 5 9 7 4 3 8 6 4 9 3 7 9 8 5 6 13																		10 3 11				11 5 8 5				5	7
D	Танины улыбки	1	2	3	5	6	5	7	3	8	9	10 9 1 0 2 4 4 6									7 5 5 4 6 6 7 5
	Реакции Вани	3	4	5	7	7	4	8	3	2	6	9	8	2	4	4	4	6	10		11	6	4	5	8	9	10	7
E	Танины улыбки	3	0	5	7	7	4	8	3	2	6	9	8	3	4	4	10 6 5				11	6	4	5	8	9	10	9
	Реакции Вани	2	1	2	3	3	4	4	5	5	5	6	6	6	6	6	10 7 7				7 8 8 8 9 7 10 11