Меры изменчивости (рассеивания )

 

В отличие от мер центральной тенденции меры рассеивания показывают, насколько данные неоднородны, изменчивы или различны. По этой причине меры рассеивания называют мерами изменчивости и вместе с мерами центральной тенденции их называют параметрами распределения. Они являются не только параметрами описания распределения случайной величины, но и входят как составляющие во многие другие статистические меры.

 

Размах (R). Самой простой из таких мер является размах–разность междуминимальным и максимальным значением случайной величины в данном распределении. Совершенно очевидно, что два распределения, имеющие одинаковые средние арифметические, медиану и моду могут различаться по размаху, т.к. меры центральной тенденции не показывают, насколько данные разбросаны на числовой оси. Недостатком этих мер является то, что при их подсчете не учитываются все значения случайной величины, поэтому распределения, имеющие равные меры центральной тенденции и размах не обязательно будут одинаковы. Более показательны при описании неоднородности данных другие меры изменчивости: дисперсия и стандартное (среднеквадратическое) отклонение. В расчетах этих мер используется центральное

 

отклонение–  разность каждого значения случайной величины со средним арифметическим данного распределения.

Дисперсия (D _x или σ ²) –отношение суммы квадратов центральных отклонений кчислу наблюдений. В том случае, если исследователь имеет дело не с генеральной совокупностью, а с выборкой, формула расчета выборочной дисперсии будет немного иная – отношение суммы квадратов центральных отклонений не к n, а к n –1 - («несмещенная» оценка дисперсии):

                     

Стандартное отклонение (σ). Стандартное отклонение представляет собой кореньиз выборочной дисперсии:

                         

 

Стандартное отклонение, пожалуй, одна из наиболее часто используемых мер изменчивости, благодаря тем свойствам, которые оно имеет для нормального распределения. В описании психологических переменных, стандартное отклонение часто используется как показатель границ большинства значений или условной нормы, что является особенно важным в психологии личности, исследованиях интеллекта и т.д. В настоящее время практически все важные стандартизированные психодиагностические шкалы (шкала Т-баллов, шкала стенов, шкала IQ и т.д.) созданы с учетом стандартного отклонения.

 

Асимметрия (As). Это мера«скошенности»распределения,отклонения графикараспределения частот от симметричного вида относительно среднего значения. В тех случаях, когда количество значений больших среднего превышает количество значений меньших, чем среднее, говорят о положительной асимметрии, в противном случае – об отрицательной. Асимметрия вычисляется как отношение среднего кубов центральных отклонений к кубу стандартного отклонения:

                              

В симметричном распределении асимметрия точно равна нулю, но в зависимости от того, как изменяются разности значений со средним, знак асимметрии меняется на положительный или отрицательный.

 

Эксцесс (Ex). Эта мера«выпуклости»распределения.При всех одинаковыхдругих параметрах, два распределения могут различаться тем, что график распределения частот будет островершинным или плоским, т.е. мода распределений может оказаться равной, но встречаться с разной частотой. Эксцесс служит для того, чтобы определить крутизну кривой, описывающей распределение, в окрестностях единственной моды, т.к. предназначен только для унимодальных распределений. Эксцесс рассчитывается по формуле:

                                                       

Важным свойством всех мер изменчивости является то, что линейное преобразование значений случайной величины никак не сказывается на значениях этих мер, т.е. если к каждому значению случайной величины прибавляется или отнимается какое-либо число, то все отклонения, дисперсия, асимметрия и эксцесс останутся прежними.

 

Пример:

Рассмотрим пример расчета описательных статистик для результатов измерений тревожности у студентов: 21, 23, 24, 34, 21, 31, 33, 35, 41, 10, 39, 37, 24, 25, 36, 21, 21, 45, 22, 17. Расчет мер центральной тенденции и квартилей распределения: Мх = 28; Md =

 

24,5; Mo = 21; Q ₁ = 21; Q ₂ = 24,5; Q ₃ = 35,5. Расчет мер рассеивания: R = 35;  = 83,5;  = 9,1; As = 0,09; Ex = -1,04.

Относительно данного распределения можно сказать, что:

 

1. Распределение унимодальное;

 

2. Основная масса значений находится в пределах одного стандартного отклонения от 19 до 37, а 50% наблюдений – от 21 до 35,5;

 

3. Распределение характеризуется положительной асимметрией, что означает, что более выражены отклонения в большую от среднего арифметического сторону;

4. Распределение характеризуется отрицательным эксцессом, т.е. значения случайной величины распределены по числовой шкале достаточно равномерно без тенденции к скучиванью вокруг среднего значения.

Задания для самостоятельной работы:

 

Рассчитать описательные статистики, сделать вывод о виде распределения,

А. 18, 16, 10, 24, 2, 8, 18, 10, 10, 14.

B. 58, 46, 52, 40, 36, 62, 32, 48, 56, 38.

C. 7, 8, 7, 7, 9, 8, 5, 7, 4, 6.

D. 107, 122, 99, 100, 110, 93, 90, 108, 116, 95.

E. 7, 5, 2, 3, 8, 3, 4, 2, 4, 6.