Описательные статистики. Меры центральной тенденции.

                      

Меры центральной тенденции являются наиболее часто используемыми мерами при описании совокупностей данных. Такие меры как среднее арифметическое, медиана и мода характеризуют выборку по уровню выраженности измеренного признака.

 

Среднее (М _х или ). Средним арифметическим является мера,представляющаясобой отношение суммы значений случайной величины (x_i) к количеству значений случайной величины в ее распределении (n):

 

                         

Среднее арифметическое обладает одним очень важным свойством: сумма разностей среднего арифметического с каждым значением случайной величины в точности равна нулю, т.е. среднее – как бы уравновешивает все значения. Однако, иногда оказывается, что среднее арифметическое не отражает основные свойства совокупности данных и может даже вводить в заблуждение исследователя. Это происходит в том случае, если существует большой разброс значений случайной величины, или в совокупности наблюдений есть такие значения, которые резко отличаются от всех остальных (так называемые «выбросы»). Например, среднее для ряда значений: 10, 10, 10, 10, 100 – будет равно 28, что совершенно не характеризует этот ряд в целом. При определении среднего арифметического в таких совокупностях данных рекомендуется воспользоваться другой мерой центральной тенденции, называемой медианой.

 

Медиана (М _е или М _d). Это мера,которая делит упорядоченное распределениеслучайной величины пополам, так, что одна половина оказывается меньше медианы, а другая – больше. В рассмотренном выше примере медиана будет равна 10, что более точно отражает свойства совокупности данных, так как показывает, к каким значениям признака наиболее вероятно приближается большее число регистрируемых значений.

 

Важно помнить, что, если количество значений оказывается нечетным, то медиана является значением, стоящим точно посередине упорядоченного ряда чисел. Если же количество значений четное, то медиана вычисляется как среднее арифметическое двух значений, находящихся в середине распределения. Например, в распределении: 3, 3, 4, 5, 6, 7 – медианой является число, находящееся между 4 и 5, то есть = (4+5)/2=4,5.

 

Мода (М _о). Модой называется такое значение случайной величины,котороевстречается наиболее часто. Для ее вычисления необходимо просто подсчитать, сколько раз встречается каждое значение случайной величины, при этом наиболее часто встречающееся и будет являться модой. В отмеченном выше примере: 10, 10, 10, 10, 100 – модой будет являться число 10, встречающееся четыре раза, тогда как число 100 встречается только единожды.

 

На выбор мер центральной тенденции оказывает влияние не только желание исследователя, многое зависит от характера распределения случайной величины. Необходимо упомянуть о некоторых особенностях всех трех мер:

 

1. Среднее арифметическое может принять такое значение, которое вообще не встречается в распределении, либо оказаться дробным для дискретной случайной величины (например, среднее количество детей в семье в нашей стране будет выражаться дробным числом, хотя ни в одной семье оно не встречается).

 

2. Медиана очень удобная мера для тех случаев, когда существует очень большой разброс значений случайной величины. В то же время, медиана может оказаться не самой удачной мерой, если какое-то одно значение встречается очень часто, и оно расположено

 

в начале упорядоченного ряда, либо в конце. В таких случаях лучше воспользоваться модой.

 

3. Мода может оказаться удобной мерой для дискретных случайных величин, особенно если какие-либо значения встречаются очень часто, и особенно, в том случае, когда их частота приближается к частоте всех остальных значений вместе взятых. Если

такое значение одно, то говорят об унимодальном распределении, если два – о бимодальном, а если более двух – о полимодальном распределении. Однако, в распределении непрерывной случайной величины моды может и вовсе не оказаться, так как ни одно из значений может не встретиться больше одного раза.

 

Меры положения (квантили)

 

Квантиль – это точка на числовой шкале, которая делит совокупность наблюдений на две части с известными пропорциями в каждой из них. Наиболее известный из квантилей – медиана, делящая распределение пополам. Помимо медианы существует еще несколько видов квантилей: квартили, квинтили, децили и процентили. Три квартиля делят совокупность наблюдений на четыре части, четыре квинтиля – на пять частей, девять децилей – на десять частей, а девяносто девять процентилей – на 100 частей. Для определения квантилей, как и для определения медианы, совокупность наблюдений должна быть упорядочена либо по возрастанию значений случайной величины, либо по ее убыванию, в зависимости от исследуемой переменной.