С.Е. Царева. Как научить учить математике?

По аналогии со сложением и вычитанием находим выход в «предметном» вычислении результатов умножения однозначных чисел, записи этих результатов в таблицу для удобства пользования и изобретении таких способов умножения и деления двузначных, трехзначных и других чисел, чтобы они сводились к умножению однозначных чисел или к соответствующим случаям деления. Затем обсуждаем вопрос: где лучше «носить» таблицу с результатами умножения и деления: в кармане (портфеле) или голове? На основании обсуждения дети делают выводы: изобретение таблиц сложения и вычитания, умножения и деления позволило сделать вычислительную работу «подсобной» при решении многих проблем; если табличные случаи запомнить, то можно быстрее справиться с вычислениями.

Понимание будущим учителем проблем и вопросов, ответами на которые является содержание той или иной темы курса, раздела, понятия школьной математики, совершенно иначе высвечивает это содержание. Оно задает смыслы понятий и утверждений, обеспечивает состояние личной причастности к открытию и последующему применению соответствующего знания. А это, в свою очередь, не только вводит студентов в круг гуманитарных, «вечных» вопросов, но и значительно повышает качество самих математических и методических знаний. Приведем еще два примера.

П р и м е р 2. На уроке математики в I классе учащимся было предложено решить задачу: «У Лены было несколько значков. После того как она отдала 3 значка, у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?» и записать ее решение. Дима выполнил на доске следующую запись: 7 – 3 = 4. Ответ: у Лены было 7 значков. Учительница не приняла решение и долго добивалась, чтобы Дима записал, «как надо»: 3 + 4 = 7. Но Дима не решал задачу сложением! Если «развернуть» его рассуждения, то они могли быть примерно такими: «Лена отдала 3 значка из тех, какие у нее были. Это обозначается вычитанием: из числа всех значков вычитаем число тех, которые она отдала. В результате получим число оставшихся значков. Из какого числа можно вычесть 3, чтобы получилось 4? Только из 7: 7 – 3 = 4. Другое число не подойдет. Значит, у Лены было 7 значков».

П р и м е р 3. Первоклассники искали и обсуждали разные способы решения задачи: «Было 6 серых голубей и 4 белых. 3 голубя улетели. Сколько голубей осталось?» Несколько способов решения уже были представлены на доске. Виталик захотел показать свой. Он записал:

1. 6 – 3 = 3

2. 4 + 3 = 7

3. 7 – 0 = 7

О т в е т: осталось 7 голубей.

Далее он пояснил: последнее действие — «нулевое» действие. Оно значит, что после того, как 3 голубя улетели, никто больше не улетал». Учитель Елена Дмитриевна Горбачева (гимназия № 7, г. Новосибирск) похвалила: «Как здорово ты придумал: сказать арифметическим действием про то, что ник# то больше не улетал!»

В обоих случаях ученики точно уловили смысл математических записей и правильно использовали математический язык для того, чтобы выразить свою мысль. И в то же время в обоих случаях они нарушили нормативные правила.

Запись Димы точно отражает его способ решения, а равенство 3 + 4 = 7 отражает другой способ рассуждений и решения: «Чтобы узнать, сколько значков было у Лены, нужно вернуть ей те значки, которые она отдала. Объединив оставшиеся и отданные значки, мы получим все значки». Но запись Димы противоречит негласному правилу, согласно которому в арифметическом решении искомое число обязательно должно быть результатом арифметического действия (или действий) и должно записываться справа от знака «=». Это упрощает считывание результата, так как он всегда справа от знака «=». Достаточно беглого взгляда на равенство, чтобы обнаружить искомое. Для того чтобы эта запись была правильно понята без пояснений Димы, нужны дополнительные письменные пояснения или знаки, которые позволили бы обнаружить искомое, но решение Димы не может быть записано так, чтобы слева было числовое выражение, а справа его значение! Возникает противоречие: для того чтобы запись соответствовала способу решения, искомое число должно входить в математическое выражение слева от знака «=», а для того, чтобы запись соответствовала правилам записи арифметического решения, это же число должно быть справа от знака «=».

 

Статья