В.С. Овчинникова. Как создавать проблемные ситуации при формировании математических понятий

Приведенные примеры иллюстрируют те способы введения новых понятий, в которых ключевой шаг — обострение противоречий, пробуждающих к жизни конкретные учебно-познавательные потребности учащихся. Ситуация обострения противоречий необходима не только при введении новых математических понятий, но и когда учащиеся усваивают и учатся применять математические понятия в жизни: при изучении устных вычислительных приемов, алгоритмов письменных вычислений, приемов поиска решения текстовых задач и других способов решения задач того или иного типа. Приведем соответствующие примеры.

 Пример 1. Обострение противоречий при изучении сложения чисел с переходом через разряд как нового устного вычислительного приема.

Первые вычислительные приемы сложения, которыми овладевают младшие школьники, основываются на знании расположения чисел на определенном отрезке натурального ряда и на некоторых табличных случаях сложения, усвоенных на уровне навыка. К ним относится прибавление по 1, 2, 3 и 4. Все эти приемы — частные случаи сложения чисел частями. Таковым является и прием сложения чисел с переходом через разряд. Отличие этих приемов заключено в причине замены какого-либо компонента сложения суммой тех или иных чисел, представляющих собой его части. Такими причинами могут быть знание тех или иных свойств чисел и действия сложения, а также уровень усвоения операций, входящих в состав изучаемого приема, от которого зависит, будет ли ученику удобно складывать выделяемые части. Таким образом, организуя соответствующий учебный процесс, необходимо учесть, что обострению противоречий для активизации учащихся может способствовать противопоставление объектов:

а) условий задач известного и нового типа;

б) известных приемов с новым способом вычисления;

в) достигнутого и требуемого уровня необходимых для использования нового приема знаний.

Реализовать эти установки можно с помощью следующих заданий:

1. Запишите в тетрадь только тот столбик, где результат сложения вы не можете назвать сразу, не задумываясь. (Последний)

3 + 2 1 + 5 2 + 7 7 + 3 9 + 1 8 + 2 10 + 2 10 + 5 10 + 7 7 + 5 9 + 6 8 + 9

Какое знание позволило вам сразу назвать значения выражений, записанных в первом столбике? (Знание наизусть таблицы сложения.) Во втором? (Знание назусть тех случаев таблицы сложения, в которых результат равен 10.) В третьем? (Умение записывать числа, содержащие один десяток.)

Это задание на классификацию выражений способствует самооценке знаний. При его выполнении у школьников обостряется противоречие между достигнутым и требуемым уровнем усвоения вычислительных операций при сложении чисел в пределах 20.

1. Чем похожи и чем отличаются выражения последнего столбика (в предыдущем задании) от выражений первого и второго столбиков? (Похожи тем, что складываются однозначные числа, а отличаются тем, что выражения последнего столбика не входят в таблицу и их значения ранее не находились и не заучивались наизусть.) Чем похожи и чем отличаются выражения последнего столбика от выражений третьего столбика? (Отличаются тем, что однозначные числа в третьем столбике прибавляют к 10, а в четвертом — к однозначному числу.)

 Выполняя задание на сравнение выражений в столбиках, учащиеся выявляют условия вычислительных задач нового вида, которые делают известный им прием сложения неподходящим.

1. Прочитайте текст, записанный с помощью математических знаков.

6 + 7 = 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

6 + 7 = 6 + 2 + 2 + 2 + 1

6 + 7 = 6 + 3 + 3 + 1

6 + 7 = 6 + 4 + 3

Какое название можно ему дать о чем он? (Как можно к 6 прибавить 7.) Чем отличаются все описанные здесь способы? (7 прибавляют разными частями: 7 = 1 + 1 + + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 1 = 3 + 3 + + 1 = 4 + 3.) Чем похожи все описанные здесь способы? (7 прибавляют частями.)

Какими частями складывать удобнее и почему? (4 и 3, так как это самый короткий способ вычисления и прибавление каждого числа не требует умственных усилий1.)

Выполняя задание на сравнение приемов прибавления 7 к числу 6, учащиеся выделяют общий принцип действия при сложении любых однозначных чисел (прибавление частями) и критерии выбора удобных частей. Это задание способствует обострению противоречия между старым способом действия (прибавление по 1, по 2, по 3 и по 4) и новым условием задачи: второе слагаемое такое, что в результате сложения получается число, которое больше 10, и такие случаи сложения не усвоены учащимися на уровне навыка. В свою очередь, это противоречие актуализирует противоречие между знанием о том, что можно прибавлять число частями, и незнанием того, какими именно частями удобнее прибавлять числа в новых условиях.

1. Рассмотрите выражения, записанные в каждой строчке. Подумайте, как предыдущие выражения могут помочь узнать, чему равно значение последнего выражения. (5 — это 3 + 2. Поэтому вместо 7 + 5 можно записать 7 + 3 + 2, 7 + 3 = 10 и 10 + 2 = 12. Значит, 7 + 5 = 12 и т.д.)

3 + 2 1 + 5 2 + 7 7 + 3 9 + 1 8 + 2 10 + 2 10 + 5 10 + 7 7 + 5 9 + 6 8 + 9

1. Из каких чисел можно составить число 8? (8 — это 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2, 7 и 1.)

Какой состав числа 8 удобно использовать при сложении 5 и 8? Почему? (8 = 5 + 3, так как мы знаем наизусть табличный случай 5 + 5 = 10 и умеем записывать число, состоящее из десятка и трех единиц: 10 + 3 = 13.) Какой состав числа 8 удобно использовать при сложении 9 и 8? Почему? (8 = 1 + 7, так как мы знаем наизусть табличный случай 9 + 1 = 10 и умеем записывать число, состоящее из десятка и семи единиц: 10 + 7 = 17.) Какой состав числа 8 удобно использовать при сложении 7 и 8? Почему? (8 = 3 + 5, так как мы знаем наизусть табличный случай 7 + 3 = 10 и умеем записывать число, состоящее из десятка и пяти единиц: 10 + 5 = 15.)

Это задание на анализ отношений между отдельными операциями в составе нового вычислительного приема. При его выполнении, осуществляя с помощью рассуждения по аналогии перенос принципа (идеи) прибавления числа частями в новые условия, учащиеся обосновывают операционный состав приема и последовательность выполнения отдельных операций. Оно снимает противоречие между знанием и незнанием.

 

Статья