Математическая логика и теория множеств

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

· пересечение множеств соответствует логическому умножению, а объединение – логическому сложению

;

·

• универсальное множество U (на кругах Эйлера обозначается в виде прямоугольника) – это множество, содержащее все возможные элементы определенного типа (например, все вещественные числа):
• универсальное множество соответствует логической единице: для любого множества целых чисел X справедливы равенства:

X ∨ U = U и X ∧ U = X

· разностью двух множеств A и B называется новое множество, элементы которого принадлежат A, но не принадлежат B:

· дополнение множества X – это разность между универсальным множеством U и множеством X (например, для целых чисел X – все целые числа, не входящие в X)

· пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A ∨ X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение X, то есть A ≥ X (или A ⊇ X), то есть A_min = X

пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A ∨ X = I, в этом случае множество A должно включать дополнение X, то есть A ⊇ X; отсюда A ⊆ X, то есть A_max = X,

Есть важнейшее свойство импликации- она показывает, что A это подмножество В (импликация является ложной тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно, т.е другими словами, если все элементы принадлежат  В-, только тогда импликация истинна ) отсюда понятно что A _min = B, а макс. совпадет с В A _MAX = B

По закону исключенного третьего

 Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_min = B

Где B — известная часть выражения.

,Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
 после упрощения A с отрицанием
то используется закон:

A_max = B

Где B — известная часть выражения.

По закону противоречия
1, Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_max = B

Где B — известная часть выражения.

2,Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
 после упрощения A с отрицанием
то используется закон:

A_min = B

Где B — известная часть выражения

 

(№ 365) На числовой прямой даны два отрезка: P=[35,55] и Q=[45,65]. Определите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формулы

(x ∈ P) → (x ∈ А)
(x ∉ A) → (x ∉ Q)

Аналогично для

A + Q =1 А min =[45.65], как максимум вся числовая ось

Или можно так

По закону исключения третьего ИЛИ, Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A_min = B

Где B — известная часть выражения.

 

2 метод преобразования.

При помощи импликации,

импликация только тогда =1 когда оба его члена равны 1 (или утверждения истинны)или можно сказать что  приP=[35,55] и Q=[45,65].

если x ∈ P то x ∈ A отсюда   A=P

если x ∉ A то и x∉Q отсюда A=Q                   

Видим из первого А=[35,55]

Из второго A=[45,65].

6. Т.е как минимум A = P и A = Q, т.е Наименьшая длина будет при объединении P +Q === [35,65]=30, а как максимум вся числовая ось

 

Решение с помощью таблицы

х	P	A	P + A =1		Q			A			A + Q =1
X<35	1	любое	1		1		любое			1
35<x< 4 5	0	1	1		1	любое			1
45<x<55	0	1	1		0	1			1
55<x<65	1	любое	1		0	1			1
x>65	1	любое	1		1	любое			1

 

Видим, что нужный отрезок это 35-65,там где А=1, длина 20.(там где ==1в обоих колонках)

№ 360) На числовой прямой даны три отрезка: P=[10,25], Q=[15,30] и R=[25,40]. Какова максимальная длина отрезка A, при котором формула
((x ∈ Q) → (x ∉ R)) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P)

МЕТОД 2

Или А →В=1 используя свойство импликации B включает в себя общие элементы (пересечние) с A это =

В таких задачах, когда  стоит после импликации, значит оно включает в себя часть множеств, стоящие перед импликацией, -ищут НОК и плюс все делители НОК =42+ 21,14,7,6,3,2,1 понятно, что наиб. здесь НОК=42

Здесь включает в себя часть множества , а это НОК = 42

 

(№ 2242) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

(ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 6)) → ДЕЛ(x, 3)

Ответ 12

(№ 384) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула
(ДЕЛ(x,15) ∧ ДЕЛ(x,21)) → (ДЕЛ(x,A) ∨ ДЕЛ(x,15))

Ответ 3.

(№ 2259) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 45) ∧ ДЕЛ(x, 15)) → ДЕЛ(x, A)

Полезно знать

А+А& B = A     A &(A + B)= A                  A + ￢ A & B = A + B

Утверждение 1.

Логическое выражение Z_K → Z_M истинно для всех x тогда и только тогда, когда множество единичных битов двоичной записи числа M входит во множество единичных битов двоичной записи числа K.

 

 

(№ 22) Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 1110₂ & 0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

(x & 25 ≠ 0) → ((x & 17 = 0) → (x & А ≠ 0))

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

· пересечение множеств соответствует логическому умножению, а объединение – логическому сложению

;

·

• универсальное множество U (на кругах Эйлера обозначается в виде прямоугольника) – это множество, содержащее все возможные элементы определенного типа (например, все вещественные числа):
• универсальное множество соответствует логической единице: для любого множества целых чисел X справедливы равенства:

X ∨ U = U и X ∧ U = X

· разностью двух множеств A и B называется новое множество, элементы которого принадлежат A, но не принадлежат B:

· дополнение множества X – это разность между универсальным множеством U и множеством X (например, для целых чисел X – все целые числа, не входящие в X)

· пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A ∨ X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение X, то есть A ≥ X (или A ⊇ X), то есть A_min = X

пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A ∨ X = I, в этом случае множество A должно включать дополнение X, то есть A ⊇ X; отсюда A ⊆ X, то есть A_max = X,

Есть важнейшее свойство импликации- она показывает, что A это подмножество В (импликация является ложной тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно, т.е другими словами, если все элементы принадлежат  В-, только тогда импликация истинна ) отсюда понятно что A _min = B, а макс. совпадет с В A _MAX = B