Тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х?

((x ∈ Q) → (x ∉ R)) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P)=0

Введем замену

x ∈ Q=Q x ∉ R=R x ∈ A=A x ∉ P=P

Перепишем

(Q→ R) &  A & P

Заменим знак следования/импликации формулой

(Q + R) &  A  & P=0 раскроем скобки

(Q + R) &  A  & P=0

A & (P &(Q + R))=0

Чтобы использовать закон противоречия(исключения третьего) A&A=0 приведем нашу часть  (P &(Q+ R))к отрицанию. или воспользуемся правилом

Если в задании формула тождественно ложна (равна 0), и
после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A _max = B

 Т.е такой (P &(Q+ R)), раскроем скобки

 P+(Q&R)=А, построим отрезки Q=[15,30] и R=[25,40]

Q&R=[25.30]

P=[10,25],

P+ Q&R==[10.30], длина 30-10=20

 

Решение с помощью таблицы. A & (P &(Q + R))=0: P=[10,25], Q=[15,30] и R=[25,40].

	Q	R	Q + R	P	P &(Q + R)	A	A & (P &(Q + R) =0
Х <10	1	1	1	1	1	0	0
10<x<15	1	1	1	0	0	любое	0
15< x <25	0	1	1	0	0	любое	0
25< x <30	0	0	0	1	0	любое	0
30< x <40	1	0	1	1	1	0	0
X >40	1	1	1	1	1	0	0

==[10.30], длина 30-10=20(для максимальной длины ищем значение при ЛЮБОЕ. Чтобы не путаться в дальнейшем, что брать любое или 0 или 1 -в этих задачах нас интересует любой замкнутый отрезок конечной длины.Ответ 20.

(№ 361) На числовой прямой даны два отрезка: P=[2,20] и Q=[15,25]. Какова минимальная длина отрезка A, такого, что формула

((x ∉ А) → (x ∉ P)) ∨ (x ∈ Q)

Тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Введем замену

x ∉ A=A x ∉ P=P x ∈ Q=Q  

Перепишем

( A → P)+ Q =1

Заменим знак следования/импликации формулой

Есть важнейшее свойство импликации- она показывает, что A это подмножество В (импликация является ложной тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно, т.е другими словами, если все элементы принадлежат  В-, только тогда импликация истинна ) отсюда понятно что A _min = B, а макс. совпадет с В.

A+P+Q=1

По закону исключения третьего, Если в задании формула тождественно истинна (равна 1), и
после упрощения A без отрицания
то используется закон:

A _min = B

Где B — известная часть выражения.

(P+Q)=A 

P Q=A ==[2.15]===15-2=13

Ответ 13

Решение с помощью таблицы. A + P + Q =1: P=[2,20] и Q=[15,25].

	P	Q	P + Q	A	A + P + Q =1
Х < 2	1	0	1	любое	1
2 <x<15	0	0	0	1	1
15<x< 20	0	1	1	любое	1
20 <x< 25	1	1	1	любое	1
X>25	1	0	1	любое	1

A ==[2.15]===15-2=13(для мин длины ищем значение только==1, кроме любое)

Ответ 13

(№ 2238) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула
(ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 21)) → ДЕЛ(x, 14)

Тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Перепишем в виде:

Преобразуем, так чтобы уединить А

Теперь нам надо найти такое А, чтобы только от него зависело значение выражения, те нам нужна определенность с выбором А, а это возможно только если вторая часть , т.к если бы там =1, то от А ничего бы не зависело, и общее выражение по любому=1

 , или

Значит наш Х делится на 14 И 21, и на А нацело, это ближайший 42, т.е чтобы 42 разделилось на А нацело, нужно чтобы А<=42, значит наибольшее это 42

МЕТОД 2

Или А →В=1 используя свойство импликации B включает в себя общие элементы (пересечние) с A это =

В таких задачах, когда  стоит после импликации, значит оно включает в себя часть множеств, стоящие перед импликацией, -ищут НОК и плюс все делители НОК =42+ 21,14,7,6,3,2,1 понятно, что наиб. здесь НОК=42

Здесь включает в себя часть множества , а это НОК = 42

 

(№ 2242) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

(ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 6)) → ДЕЛ(x, 3)