В результате решения уравнения теплопроводности была найдена такая функция, которая одновременно удовлетворяла уравнению и краевым условиям.

Полученная функция зависит от большого числа параметров, однако, анализ решения позволил сгруппировать эти величины в два безразмерных комплекса. Эти комплексы являются критериями подобия

 

В i = a × s / l;        Fo = а × t / s ²

На основании второй теоремы подобия ( зависимость между переменными, характеризующими какой - либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия ) искомая функция

	tпов - t

tпов - tн

Q =              в различных сходственных точках Х = х / s или X = r / R

может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия

q = ¦ (В i; Fo; Х).

 

32.Физический смысл критерия Фурье

Критерий Фурье Fo = а × t / s ² характеризует связь между временем прогрева системы, физическими свойствами и размерами тела, являясь мерой отношения теплового потока и скорости аккумуляции тепла, поступившего в систему.

Эта связь ясна из следующей модификации критерия Фурье: если умножить числитель и знаменатель на   S ², то после перегруппировки критерий получает вид

			l × t × s ^2 s
					1 cp × r × s ^3

Fo =            =

×

s ^2

 

l × t × s ^2 s

где              - представляет количество тепла, поступившего за счёт теп-

cp × r × s ^3

лопроводности за время t;

 - аккумулированное тепло.

Иначе говоря, критерий Фурье оценивает скорость изменения температуры тела при нестационарном поле

Из структуры Fo   можно заключить, что при его неизменной величине время для нагрева или охлаждения зависит от линейных размеров тела 

t = Fo × s ² / а и пропорционально s ².

33.ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КРИТЕРИЯ БИО

Критерий Био В i = a × s / l по своей структуре напоминает критерий Нуссельта, но является определяющим критерием, т.к. в него входят условия однозначности ( коэффициент теплоотдачи задается ).

Критерий В i по физическому смыслу представляет меру отношения теп л ового сопротивления твёрдого тела s / l и теплового сопротивления 1 / a теплоотдачи в окружающую среду, что видно из его структуры

 

1 / α

s / l

В i =         ^.

Или, критерий Био является мерой относительной интенсивности переноса тепла от омывающей среды на поверхности тела к переносу тепла в самом теле.

34.ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 1 ^ГО рода

В этом случае задаётся распределение температуры по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени, т.е. задаётся функция

Т_пов = ¦ (t) или Т_пов = ¦ (х, у, z, t).

В частных случаях эта температура может быть постоянна во времени, t _пов = const ( процессы нагрева или охлаждения с мгновенным изменением температуры поверхности тела, процессы выдержки ), или изменяться во времени, например, с постоянной скоростью t _пов = t _н + c × t,

где С - скорость изменения температуры поверхности тела, ⁰С / час;

t _н - температура в начальный момент времени, ⁰С.

На практике применяется в режимах термообработки.

36. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА

Рассмотрим симметричный нагрев пластины неограниченной длины и ширины, но ограниченной толщины - 2 s и цилиндра бесконечной длины радиусом R.

Граничные условия имеют следующий вид;

t / _{x ± S} = t _п, или                                                 (15)

t / _{r = R} =t _п,                                                      (16)

где t _п = const.

Рассмотрим варианты начальных условий

1. На поверхности тела с одинаковой температурой по толщине, температура поверхности мгновенно изменяется до заданного значения и затем в процессе нагрева (охлаждения) поддерживается постоянной.

Начальные условия имеют следующий вид:

t / _{t = 0} = t _н.                                      (17)

Графическое представление краевых условий.

Температура поверхности тела может мгновенно принять температуру окружающей среды при условии, что коэффициент теплоотдачи a будет очень большим, т.е. стремиться к ¥,следовательно, и интенсивность внешнего теплообмена будет настолько велика, что поверхность тела мгновенно примем температуру окружающей среды

В результате заданной величиной оказывается температура поверхности тела, т.е. получаются граничные условия первого рода.

Следовательно, критерий Био не является более параметром задачи. Лимитирующим звеном в процессе нагрева или охлаждения является внутренний теплообмен

Подставляя (15) и (17) в общее решение уравнения теплопроводности (при граничных условиях первого рода) и произведя интегрирование и преобразование, получим решение для бесконечной пластины

 

t = t _п + (t _н - t _п) ×           (18)

	2 l - 1

2

p

где d _l =                    - ( имеет смысл центрального угла выраженного в радианах );

l = 1; 2; 3; ^... - нормальный ряд чисел.

В этом решении сумма бесконечного ряда может быть выражена как функция двух безразмерных параметров: величины критерия Фурье содержащего время t и симплекса х / s содержащего координату х

а × t

Если в выражение (18)  перенесём температуры в левую часть, то решение можно представить в общем виде

	tп - t
			Fплл пл

tп - tн

s ^2

=

                    (           ; х / s).

 

Значения F _пл вычислены и представлены в виде графиков.

 

tп - t

tп - tн

               = q - безразмерная температура

 

Решение для бесконечного цилиндра получим после подстановки граничных (16) и начальных (17) условий в общее решение уравнения теплопроводности

t = t _п + (t _н - t _п) ×       (19)

 

i ₀ и I ₁ - функции Бесселя нулевого и 1 ^го порядка.

m × I1 (m)

m _n - значение корней трансцендентного уравнения Bi =

 

I0 (m)

Решение в критериальной форме будет иметь вид

q _ц = F _ц (Fo; X),

где X = r / R.

Значения функции F _ц представлены в литературе в виде графиков.

Если расчёт ведётся для установления температуры центра изделия, т.е. х / s = 0; r / R = 0, то расчётные уравнения примут вид:

	а

S^2

× t

для пластины q _пл = F _пл ^с (    )

 

 

а

R^2

× t

для цилиндра q _ц = F _ц ^с (     ).

Значения функций F _пл ^с и F _ц ^с также приведены в литературе. Есть в литературе и данные для различных значений х / s и r / R.

Для бесконечной пластины температура в середине тела в момент времени t  может быть найдена по формуле ( при   а × t / S ² ³ 0,06)

 

tп - t

tп - tн

= 1,27

 

Для цилиндра бесконечной длины температура на оси может быть рассчитана по формуле ( при   а × t / R ² ³ 0,08)

 

tп - t

tп - tн

= 1,61

 

Рассмотренные граничные условия 1 ^го  рода осуществляются на практике при очень большой интенсивности внешнего теплообмена.

Например, при закалке в жидкостях, температура кипения которых ниже температуры нагрева под закалку. Или при нагреве в жидких металлах и соляных ваннах.

Коэффициент теплоотдачи от изделия к жидкости имеет порядок 

a» 10³ ¸ 10⁴ Вт / м² × К

2. Температура поверхности постоянна, но в начальный момент времени имеется распределение температур по сечению тела соответствующее параболе 2 ^го порядка.

Граничные условия соответствуют граничным условиям, приведённым в 1 ^м варианте

t / _{x ± S} = t _п; t / _{r = R} =t _п; t _п = const