Радиационный теплообмен в замкнутой системе

Из двух серых поверхностей, разделенных

Лучепрозрачной средой

Как правило, основная задача теории радиационного теплообмена заключается в определении величины результирующего теплового потока на данной поверхности, если известны температуры и оптические константы всех поверхностей, составляющих данную систему.

Рассмотрим теплообмен излучением между двумя серыми поверхностями произвольной формы, образующими замкнутую систему. Это означает, что излучение из данной системы не уходит и не поступает в неё из вне. Считаем, что обе поверхности имеют постоянную температуру Т₁ и Т₂ по всей площади F₁ и F₂. Теплообмен стационарный. С учетом замкнутой системы получаем

Q_РЕЗ1 + Q_РЕЗ2 = 0,

т. е. алгебраическая сумма результирующих потоков равна нулю. Это означает, что количество тепла, которое в единицу времени получает одна из поверхностей в результате теплообмена, равно тому количеству тепла, которое теряет другая поверхность.

В связи с тем, что рассматриваемая система не обменивается излучением с окружающей средой, для неё справедливо выражение

Q_РЕЗ2 = Q_ПАД2 - Q_ПАД1

или учитывая, что

Q_ПАД2 = Q_эфф1 × j _1,2    Q_ПАД1 = Q_эфф2 × j _2,1

Q_РЕЗ2 = Q_эфф1 × j _1,2 × - Q_эфф2 × j _2,1                       (27)

Исключим из выражения (27) эффективные потоки, воспользовавшись формулой (6), в которой поглощательную способность  А заменим на основании закона Кирхгофа степенью черноты e. В результате получим

Q_РЕЗ2 =            (28)

В этом выражении величина Q_С1 / e ₁ равная отношению потока собственного излучения поверхности 1 к её степени черноты, представляет собой поток излучения абсолютно черного тела с поверхностью F₁ и температурой T₁, а величина Q_С2 / e ₂ то же с поверхности  F₂ и температурой Т₂.

Используя закон Стефана - Больцмана

Q_С1 / e ₁ = С₀ × (Т₁ / 100)⁴ × F₁;     Q_С2 / e ₂ = С₀ × (Т₂ / 100)⁴ × F₂,          (29)

подставим выражения  (29) в уравнение (28) и, учитывая, что Q_РЕЗ1 = - Q_РЕЗ2 находим результирующий тепловой поток на поверхности   2.

Q_РЕЗ2 = .             (30)

Разделив числитель и знаменатель в правой части выражения  (30) на коэффициент излучения абсолютно черного тела С₀ и принимая во внимание, что в соответствии со свойством взаимности средних угловых коэффициентов излучения F₁ × j _1,2 = F₂ × j _2,1, получим

Q_РЕЗ2 = , (31)

где С₁ = e ₁ × С₀ и С₂ = e ₂ × С₀ - являются коэффициентами излучения серых поверхностей 1 и 2.

Выражение  (31) для результирующего теплового потока записывается обычно в виде

Q_РЕЗ2 =                      (32)

Здесь   С_ПР приведенный коэффициент излучения, который в общем случае для замкнутой системы, состоящей из двух изотермических поверхностей, имеет вид

 

С_ПР =                (33)

Величина приведенного коэффициента излучения зависит от геометрической конфигурации системы, определяющей значение средних угловых коэффициентов излучения, и от оптических свойств поверхностей, определяющих значения коэффициентов излучения.

Таким образом, в случае теплообмена излучением между двумя серыми поверхностями, образующими замкнутую систему, результирующий тепловой поток на любой из этих поверхностей пропорционален разности четвертых степеней их температур.

Для замкнутых систем представленных на рисунках и характеризующихся тем, что j _1,2 = 1 формула для расчета результирующего потока принимает вид.                Q_РЕЗ = .                                  

 

При этом для случая, показанного на рис. А

(j _1,2 = j _2,1 = 1) приведённый коэффициент излучения принимает вид

С_ПР = .

Для случаев Б и В  

(j _1,2 = 1; j _2,1 = F₁ / F₂) в виде

С_ПР =