Неравенства. Предельные числа.

Рассуждения этого параграфа аналогичны во многих отношениях рассуждениям §9 предыдущего раздела (раздел общей теории множеств).

Определение 8.1. A⁺ < B⁺  A⁺ B(b).

Таким образом, для того, чтобы порядковое число множества A⁺ было меньше порядкового числа множества B⁺, необходимо и достаточно, чтобы множество A⁺ было подобно некоторому начальному отрезку множества B⁺.

Заметим, что из определения 8.1 и леммы 7.8 следует:

если = , =  и < , то < .

Из определения 8.1 и теоремы 2.1а следует:

Следствие 8.1. (a) < ⁺.

Для упрощения записи дальнейших доказательств мы введем следующие обозначения:

α =

β =

γ =

Таким образом, буквы α, β, γ в дальнейшем будут обозначать порядковые числа.

Из определения 8.1 и леммы 7.3 следует:

Лемма 8.1. α < β  α β.

Лемма 8.2. α β  α<β β<α. Эта лемма следует из теоремы 7.2 и определения 8.1.

Лемма 8.3. α < β  β < γ  α < γ.

Доказательство. Из определения 8.1 и условий леммы следует, что для некоторого элемента b множества B⁺ и некоторого элемента c множества C⁺ имеют место соотношения:

(1) A⁺ B(b);

(2) B⁺ C(c).

Из леммы 7.1 и (2) следует существование такого элемента множества C⁺, что B(b) С(с₁). Отсюда и из (1) следует

A⁺ C(c₁).

Таким образом, по определению 8.1 α < γ.

Лемма 8.4.   α < β ~(β < α).

Доказательство. Пусть – вопреки тому, что требуется доказать, – β < α. Отсюда и из леммы 8.3 следует, что α < α. Однако данное заключение противоречит лемме 8.1.

Из лемм 8.2, 8.3, 8.4 следует

Теорема 8.1. Отношение «меньше» упорядочивает множество порядковых чисел.

Теорема 8.2. Если множество   (β < α) упорядочено отношением «меньше», то

α =   (β < α).

Доказательство. Пусть α = A⁺. Для доказательства теоремы достаточно показать, что

  (β < α).

Отношение, устанавливающее подобие данных множеств, есть отношение , определяемое эквивалентностью

α β  β = A(a).

Из теоремы 8.2 и следствия 6.1 вытекает:

Следствие 8.1. Множество   (β < α) есть упорядоченное множество.

Теорема 8.3. Произвольное непустое множество  порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», имеет первый элемент.

Доказательство. Пусть – вопреки тому, что требуется доказать, - множество  не имеет первого элемента, и пусть α – произвольный элемент данного множества. Отсюда легко следует, что множество  (β β<α) непусто.

Допустим, что данное множеств упорядочено отношением «меньше». Поэтому оно есть непустое подмножество множества (β<α) и по определению 6.1 и следствию 8.1 имеет первый элемент. Легко видеть, что данный элемент есть одновременно и первый элемент множества .

Таким образом, допущение, что данное множество не имеет первого элемента, приводит к противоречию.

Теорема 8.4. Произвольное множество порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», есть вполне упорядоченное множество.

Доказательство. Непосредственно следует из определения 6.1 и теоремы 8.3.

Согласимся обозначать множество всех порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», символом ПЧ⁺, а начальный отрезок данного множества, определяемый элементом α – символом ПЧ(α).

Таким образом, теорему 8.2 мы можем записать:

α  ПЧ⁺   ПЧ(α) = α.

Определение 8.2. α  ПрЧ  α  ПЧ  α 0  α β+1.

Выражение «α  ПрЧ» читается: α есть предельное число.

Например, предельные числа – это числа , + , , но ни одно натуральное число, а также ни одно число вида + n, где n N не есть предельное число.

Теорема 8.5. α 0  α  ПрЧ  α N  α=β+n.

Доказательство. Пусть

(1) α 0  α  ПрЧ  α N

а также вопреки тому, что требуется доказать, -

(2)  α= β+n.

 Обозначим через α₀ наименьшее порядковое число, удовлетворяющее условиям (1) и (2).

Существование такого числа гарантируется теоремой 8.3 и принятыми допущениями. Поэтому существует такое порядковое число β₀, что

(3) α₀=β₀+1.

Если бы β₀ ПрЧ, то число α₀ не удовлетворяло бы – вопреки допущенному – условию (2).

Поэтому имеет место соотношение

(4) β₀  ПрЧ

Из (1) и (3) легко следует, что

(5) β₀ 0  β₀ N.

Из формулы (3) и определения 8.1 следует, что β₀<α₀. Отсюда, из допущения, что α₀ – наименьшее порядковое число, удовлетворяющее одновременно условиям (1) и (2), а также из формул (4) и (5) следует существование такого предельного числа β₁ и такого натурального числа n₁, что

β₀= β₁+ n₁.

Из этой формулы, формулы (3) и теоремы 3.1а следует:

α₀= β₁+ (n₁+1).

Полученная формула противоречит допущению, что α₀ удовлетворяет условию (2).

Следовательно, исходная формулировка теоремы верна.

 

 

Принцип индукции.

В этом параграфе ты обобщим принцип индукции, который является законом арифметики натуральных чисел.

Принцип индукции формулируется или в качестве арифметической Теоремы, или в качестве правила доказательства теорем.

В первой формулировке этот принцип имеет вид:

(1) 0 Z N Z

При формулировке принципа индукции в качестве правила используется символ W(n), который обозначает произвольную формулу (или более обще, произвольную теорему), записанную с помощью переменной, пробегающей множество всех натуральных чисел N. Правило индукции мы запишем так же, как мы записывали логические правила в части I:

I. W(0)  [W(k) W(k+1)]

                        W(n)

Пользуясь правилом I, можно доказать теорему (1), и обратно: на основании (1) можно показать, что правило I производно относительно логических правил.

В доказательствах математических теорем часто применяется правило, отличное от правила I, называемое, однако, также правилом индукции. Схема этого правила имеет вид:

II. [ [m<k W(k+1)] W(m)]

                 W(n)

Арифметическая теорема – аналог правила II в том смысле, в каком теорема (1) есть аналог правила I, – имеет вид:

(2) ( k Z m Z)  N Z.

В арифметике натуральных чисел правила I и II эквивалентны. Но только правило II можно распространить на арифметику порядковых чисел вследствие того, что не всякое порядковое число можно получить из нуля прибавлением единицы, в то время как любое натуральное число, очевидно, можно получить таким способом.

К порядковым числам, которые нельзя получить из нуля прибавлением единицы, относятся, например, числа

w, w+1, w+w, w×w.

Схема обобщенного правила индукции имеет вид:

III.  [ W(β) W(α)]

                W()

где  пробегают множество всех порядковых чисел.

Для того, чтобы установить, что формула W() верна для любого порядкового числа , достаточно показать, что данная формула верна для произвольного числа α, если только она верна для любого β<α.

Теорема 9.1. Правило индукции, схема которого есть схема III, производно относительно логических правил.

Доказательство. Пусть W() – произвольная формула, содержащая переменную , которая пробегает множество всех порядковых чисел.

 

Пусть

(1) [ W(β) W(α)]

и далее пусть – вопреки тому, что требуется доказать, - формула W() не выполняется для некоторого порядкового числа , а потому истинно предложение

(2) ~ W()

Обозначим через Ф множество всех порядковых чисел, для которых не выполняется формула W().

Из (2) следует, что данное множество непусто.

Значит, то теореме 8.3 в нём существует наименьшее число ₀.

Таким образом, имеют место формулы:

(3) ~ W();

(4) W(β).

Из формул (1) и (4) следует W(). Однако это заключение противоречит формуле (3). Таким образом, косвенное доказательство теоремы закончено.

Доказательство, которое мы провели, аналогично доказательству правила II на основании так называемого принципа наименьшего числа, который имеет следующую словесную формулировку:

в произвольном непустом множестве натуральных чисел существует наименьший элемент.

Обобщением этого принципа является теорема 8.3.

Подобно тому как в данном параграфе были обобщены некоторые теоремы арифметики, можно обобщить метод определения, который называется методом определения по индукции и часто применятся в арифметике и других разделах математики.

Здесь мы ограничимся нестрогим описанием определения этого метода.

Некоторое свойство, которым обладает каждый предмет данного вполне упорядоченного множества, определяется так:

Сначала это свойство определяется для первого элемента рассматриваемого множества, а затем в предположении, что свойство определено уже для всех элементов, предшествующих некоторому произвольному элементу a данного множества, свойство определяется для элемента a.

Примером индуктивного определения является определение возведения в степень порядковых чисел:

Определение 9.1. a. =1.

                             b. = .

                             c. В случае, когда ПрЧ, а значит, в случае, когда  нельзя представить в виде +1, то  определяется как наименьшее порядковое число, которое больше любого числа , где  - порядковое число меньше .

Можно обобщить также понятие бесконечной последовательности.

Определение 9.2. Трансфинитная последовательность типа есть функция, левая область которой – множество всех порядковых чисел меньше , где  w.

В случае = w мы получаем обычную бесконечную последовательность.

Индексы членов последовательности типа α – это порядковые числа меньше числа α. Последовательность типа α обозначается

α₀, α₁, α₂, …, α_ξ, …, где ξ < α или же кратко

{α_ξ}_{ξ < α}

Опуская в определении 9.2 условие α ≥ ω, получаем наиболее общее понятие последовательности, также содержащее в качестве частного случая понятие бесконечной последовательности.

Последовательности часто определяются интуитивно.

§10.Теорема Цермело. Альфы. Гипотеза континуума.

 

Следующая важная и имеющая применение во многих математики теорема называется теоремой Цермело.

Теорема 10.1. Для любого множества А существует высшее упорядоченное множество, запас которого есть множество А.

Иначе эту теорему можно сформулировать так:

Для любого множества А существует также отношение R, что упорядоченная пара <А,R> есть вполне упорядоченное множество.

Данную теорему часто формулируют в краткой, но неточной форме: Любое множество можно вполне упорядочить.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение 10.1.

Это определение корректно, потому что в силу следствия 2.2 множества, порядковые типы которых равны, имеют мощность.

Таким образом, символ  обозначит мощность вполне упорядоченного множества, имеющего порядковое число α. Будем говорить, что  - кардинальное число порядкового числа α.

Из определения 10.1 и следствия 5.2 следует:

Следствие 10.1. =< >= ₀

Определение 10.2. Z(m) =m.

Таким образом, множество Z(m) есть множество всех порядковых чисел, кардинальное число которых равно m.

Теорема 10.2. m KЧ Z(m) 0.

Доказательство. Из теоремы 7.2с раздела I следует существование множества, удовлетворяющего условию

Из теоремы 10.1 следует существование вполне упорядоченного множества A⁺  с запасом А.

Из теоремы 2.2 в следует существование порядкового числа , такого что

= ^+.

Отсюда, а также из определения 10.1 и условия (1) мы получаем, что

=m.

Тем самым по определению 10.2 Z(m).

Таким образом, множество Z(m) непусто.

Определение 10.3. а.  – есть начальное число множества Z(m) тогда и только тогда, когда m ₀ и  есть наименьшее порядковое число множества Z(m);

b.  - есть начальное число тогда и только тогда, когда существует такое m, что  есть начальное число множества Z(m).

Из теорем 10.2 и 8.3 следует:

Следствие 10.2. Если m ₁, то существует начальное число множества Z(m).

Определение 10.4. =   тогда и только тогда, когда   есть начальное число, и множество всех начальных чисел меньше , упорядоченное отношением «меньше», имеет тип .

Легко видеть, что w – начальное число множества Z( ₀). Это наименьшее начальное число.

Таким образом, из определения 10.4 и в силу замечания, что нуль есть порядковый тип пустого множества.

(1) w=w₀.

Заметим еще, что начальное число w₁ обозначается обычно символом .

Определение 10.5. m=   тогда и только тогда, когда начальное число множества Z(m) есть .

Кардинальные числа, которые можно обозначать буквой  с индексами, называются алефами.

Рассмотрим, согласуется ли смысл символа , следующий из определения 10.5, с его прежним смыслом.

По определению 10.5 начальное число множества Z() есть число w₀=w.

Таким образом, по определениям 10.3а и 10.2 = . Отсюда и из следствия 10.1 следует, что смысл, какой символ  имеет по определению 10.5, согласуется с его прежним смыслом.

Теорема 10.3. Для любого кардинального числа m  существует такое порядковое число , что

m= .

Иначе эту теорему можно сформулировать так:

Любое трансфинитное кардинальное число есть алеф.

Доказательство. Пусть  – начальное число множества Z(m). Существование этого числа гарантируется следствием 10.2 и условием, что m . Обозначим через  порядковое число множества всех начальных чисел < .

По определению 10.4 = . Отсюда и из определения 10.5 m= .

Таким образом теорема верна.

Из определений 10.2, 10.3а, 10.4 и 10.5 легко следует

Следствие 10.3. = .

Теорема 10.4. .

Таким образом, кардинальное число  можно определить как мощность множества всех порядковых чисел меньше .

Доказательство. Допустим, что множество  упорядочено отношением «меньше». Из теоремы 8.2 следует поэтому формула:

Отсюда и из определения 10.1 мы получаем

Из этой формулы и следствия 10.3 следует теорема.

Теорема 10.5. <

Доказательство. Из определения 10.4 следует, что . Отсюда

(1)

Из формулы (1) и следствия 9.1 раздела I следует

.

Отсюда и из теоремы 10.4 следует в свою очередь

< .

Если бы < , то по определению 10.5 число  равнялось бы +1, что, очевидно, не может иметь места.

Таким образом, верно только

< .

Теорема 10.6. f

Доказательство опускаем.

Проблемой континуума называется вопрос, равны ли числа  и f или же первое из них меньше второго, а гипотезой континуума называется предположение, что имеет место первая из этих возможностей. Очевидно, что данная гипотеза следует из допущения существования отношения R, вполне упорядочивающего множество K всех действительных чисел, и такого, что

áK, Rñ= =

Заметим, что проблема континуума эквивалентна вопросу, существует ли кардинальное число m, удовлетворяющее неравенству

<m<f,

а тем самым вопросу, существует ли бесконечное и несчетное множество действительных чисел, неравночисленное множеству K.

Проблема континиума была сформулирована создателем теории множеств Кантором и до сих пор еще не решена. Известно лишь (К. Гёдель, 1940 г.), что гипотеза континуума не может быть источником противоречий в теории множеств.