Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа.

Определение 6.1. Упорядоченное множество A ⁰ есть вполне упорядоченное множество   (b – есть первый элемент множества B ⁰).

Таким образом, множество вполне упорядочено тогда, и только тогда, когда каждое его непустое подмножество имеет первый элемент.

Из определения 6.1. и леммы 5.1. непосредственно следует, что любое конечное упорядоченное множество вполне упорядочено.

Множество á ñ - вполне упорядочено,

однако ни áB ñ                 (B – рациональные числа)

          ни áR ñ                 (R – действительные числа)

не относятся к вполне упорядоченным множествам.

Из теоремы 4.2а легко следует:

Следствие 6.1. Множество, подобное вполне упорядоченному множеству, также вполне упорядочено.

Определение 6.2. α ПЧ  (A ⁰ есть вполне упорядоченное множество  α = A ⁰).

Выражение α ПЧ читается: α есть порядковое число.

Таким образом, порядковые числа – это порядковые типы вполне упорядоченных множеств.

Из предыдущих замечаний и следствий 5.2-5.4 следует, что из порядковых типов w,  и  только w есть порядковое число.

w=á ñ     N – натуральные числа

=áB ñ     B – рациональные числа

=áR ñ      R – действительные числа

Заметим далее, что если рассматривать натуральные числа как порядковые типы конечных множеств (см. замечания предыдущего параграфа), то натуральные числа будут частными случаями порядковых чисел.

Также и число 0, понимаемое как порядковый тип пустого множества по определениям 6.1 и 6.2 есть порядковое число.

Теорема 6.1.  Любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено.

Доказательство. Пусть B⁰ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества A⁰, а C⁰ – произвольное непустое подмножество множества B⁰.

Легко видеть, что множество C⁰ есть подмножество множества A⁰. Поэтому множество C⁰ имеет первый элемент.

Таким образом, мы показали, что любое непустое подмножество множества B⁰ имеет первый элемент.

Отсюда и из определения 6.1 следует, что данное множество вполне упорядочено.

Теорема 6.2. Сумма и произведение вполне упорядоченных множеств – вполне упорядоченные множества.

Доказательство. Пусть A⁰ и B⁰ – произвольные вполне упорядоченные множества и пусть C⁰ – произвольное непустое подмножество множества A⁰ + B⁰.

Если A×C 0, то мы можем принять, что элементы множества D⁰, запас которого есть множество A×C, упорядочены так же, как и в множестве A⁰. очевидно, что множество D⁰ – непустое подмножество вполне упорядоченного множества A⁰, а потому имеет первый элемент.

Легко видеть, что данный элемент есть одновременно и первый элемент подмножества C⁰.

Если же A×C=0, то множество C⁰ – есть подмножество вполне упорядоченного множества B⁰ и потому имеет первый элемент.

Тем самым мы показали, что в обоих возможных случаях произвольное непустое подмножество множества A⁰+B⁰ имеет первый элемент. Таким образом, множество A⁰ + B⁰ вполне упорядочено.

Пусть теперь C⁰ – произвольное непустое подмножество множества A⁰×C⁰.

Обозначим через , элементы которого – те, и только те элементы множества A⁰, которые относятся к первым элементам упорядоченных пар, принадлежащих множеству C.

Аналогично определяется .

Легко видеть, что 0 и 0.

Пусть a₀ и b₀ будут соответственно первыми элементами этих множеств.

Очевидно, что пара áa₀,b₀ñ есть первый элемент множества C⁰.

Таким образом, множество A⁰×B⁰ также вполне упорядочено.

Из доказанной теоремы следует, что операции на порядковых числах мы можем определить как частные случаи соответственных операций на порядковых типах.

Отсюда непосредственно следует, что теоремы арифметики порядковых типов, доказанные в §3, остаются верными и в арифметике порядковых чисел.

Заметим еще, что законы коммутативности сложения и умножения не имеют места не только для порядковых типов, но и для порядковых чисел. Это можно видеть из следующих неравенств:

w+1 1+w,

w 2 2 w,

несложное доказательство которых сделать самим.

Заметим еще, что вполне упорядоченное множество с запасом A мы будем обозначать A⁺.