Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Сечения. Плотные и непрерывные множества.
Понятием сечения множеств всех рациональных чисел пользовался Дедекинд, строя арифметику действительных чисел. Определяемое ниже понятие сечения является обобщением понятия, введенного Дедекиндом. Определение 4.1. есть сечение упорядоченного множества;
Таким образом, сечения – это упорядоченные пары упорядоченных множеств с непустыми и непересекающимися запасами. Множество Ао – нижний класс сечения, Во – высший класс. Из определений 4.1 и 3.1 легко следует, что
Поэтому сечение определяет разбиение всех элементов данного упорядоченного множества на два таких класса, что каждый элемент первого класса предшествует каждому элементу второго класса.
Определение 4.2. а) х есть первый элемент упорядоченного множества b) х есть последний элемент упорядоченного множества Определение 4.3. а) Сечение есть скачок тогда, и только тогда, когда существует последний элемент множества Ао и первый элемент множества Во. b) Сечение есть предел тогда и только тогда, когда не существует последнего элемента множества Ао и не существует первого элемента множества Во. Легко видеть, что любое сечение множества – скачок. Можно показать ниже, что сечение множества всех положительных рациональных чисел, упорядоченного отношением «меньше», которое определяется эквивалентностями , есть пробел.
х 2 х2<2 х2>2 А В Существуют, очевидно, сечения, которые не являются ним скачками, ни пробелами. К таким сечениям относится, например сечение множества áÂ,<ñ, в котором множеству Ао принадлежат все неположительные, а множеству Во – все положительные числа. Последний элемент множества Ао есть число 0, но множество Во не имеет первого элемента. Определение 4.4. а) Упорядоченное множество плотно тогда, и только тогда, когда ни одно его сечение не есть скачок. b) Упорядоченное множество непрерывно тогда, и только тогда, когда ни одно его сечение не есть ни скачок, ни пробел. Множество áN,<ñ не является, очевидно, ни плотным, ни непрерывным. Множество всех рациональных чисел, упорядоченное отношением «меньше», плотно, но не непрерывно, потому что, как следует из приведенного выше примера, существуют его сечения, являющиеся пробелами.
Однако, множество áÂ,<ñ непрерывно. ( - действительные числа: pÎÂ, ÎÂ). Введем понятие включения для упорядоченных множеств, которым мы в дальнейшем будем пользоваться: Определение 4.5. Таким образом, множество Ао включается (содержится) в упорядоченное(м) множество(е) Во тогда, и только тогда, когда запас первого из этих множеств включается (содержится) в смысле установленном в алгебре множеств – в запасе второго и когда элементы множества Ао упорядочены в нем так же, как и в множестве Во. Тем самым символ «Ì» имеет два смысла. Но это не грозит путаницей, потому что обозначения аргументов этого символа будет всегда указываться в каком смысле он употребляется. Заметим, что если АоÌВо,то множество Ао называется частью,или подмножеством множества Во. Из определений 4.5 и 4.1 непосредственно следует: Следствие 4.1. а) b) есть сечение множества
Теорема 4.1. . Таким образом, отношение включения упорядоченных множеств, как и отношение включения неупорядоченных множеств, транзитивно. Доказательство. (1) (2) (3) (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5)
Теорема 4.2. а) Если Ао@Во и существует первый элемент множества Ао, то существует и первый элемент множества Во; b) Если Ао@Во и существует последний элемент множества Ао, то существует и последний элемент множества Во; с) Если Ао@Во и множество Ао плотно, то плотно и множество Во; d) Если Ао@Во и множества Ао непрерывно, то непрерывно и множество Во. Доказательство. Эта теорема – непосредственное следствие основной теоремы об изоморфизме, сформированный в §1. Однако это доказательство теории является трудным. Потому мы проводим доказательство теорем 4.2а, b, с, d, не опирающиеся на основную теорему об изоморфизме; эти доказательства не представляют трудностей.
Докажем сначала часть а) теоремы. Допустим, что взаимооднозначное отношение R устанавливает подобие множеств Ао и Во, а также, что а1 – первый элемент множества Ао. Покажем, что b1=R(а1) – первый элемент множества Во. В самом деле, если бы существовал такой элемент b2 множества Во, что , то существовал бы также и элемент а2 множества Ао, удостоверяющий условию b2=R(а2); причем по определению 2.4 имела бы место эквивалентность Таким образом, элемент а1 не был бы – вопреки условию – первым элементом множества Ао. Доказательство части b) теоремы аналогично. Докажем теперь часть c) теоремы. Допустим вновь, что взаимооднозначное отношение R устанавливает подобие множеств Ао и Во, а также, что множество Ао плотно. Допустим также – вопреки тому, что мы хотим доказать, - что некоторое сечение множества Во – скачок. Обозначим через Zо и Uо подмножества множества Ао, удовлетворяющие условиям , Легко выдать, что , и что упорядоченная пара - сечение множества Ао. Поэтому из допущения, что сечение - скачок, из теоремы 4.2а, b следует, что в в множества Zо имеется последний элемент, а в множества Uо – первый элемент. Поэтому сечение - скачок. Однако это заключение противоречит допущению, что множество Ао плотно. Доказательство части a теории аналогично. Теорема 4.3. Упорядоченное множество А0 плотно
________________________ * – выражение - конъюнкция выражений и
Доказательство. Допустим вначале, что множество Ао плотно, и пусть х и у – его произвольные элементы, удовлетворяющие условию (1) Пусть подмножества Хо и Yо множества Ао удовлетворяют условиям (2) ; (3) ; Если бы не существовало элемента Z, удовлетворяющего условию (4) , то как легко видеть – упорядоченная пара была бы сечение множества, и притом скачком. Это заключение, однако, противоречит допущению, что множество Ао плотно. Значит, из этого допущения следует, что для любых двух элементов х, у множества Ао, удовлетворяющих условию (1), существует элемент, удовлетворяющий условию (4). Допустим теперь, что множество Ао не плотно. Поэтому существует сечение этого множества, являющиеся скачком. Легко видеть, что тогда существуют элементы х и у множества Ао, удовлетворяющие условиям (1), (2) и (3). Если бы некоторый элемент z множества Ао удовлетворял бы условию (4), то этот элемент не принадлежал бы ни множеству Хо, ни множеству Yо и упорядоченная пара не была бы – вопреки допущению – сечением множества Ао. Тем самым доказательство теоремы закончено.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 90; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.43.17 (0.015 с.) |