Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Рассмотрим на плоскости кривую, которая является графиком дифференцируемой функции .

Определение 1. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на этом интервале.

Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращённую выпуклостью вниз – вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала  вторая производная функции  отрицательна, т.е. , то кривая  обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 2. Если во всех точках интервала  вторая производная функции  положительна, т.е. , то кривая  обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

В точке перегиба касательная пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Теорема 3 (необходимое условие точки перегиба). Для того чтобы график функции  имел перегиб в точке , необходимо, чтобы функция была дифференцируема в точке , и чтобы в этой точке вторая производная либо не существовала, либо была равна нулю.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть кривая определяется уравнением . Если  или  не существует и при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка кривой с абсциссой  есть точка перегиба.

Пример: Найдите точки экстремума и точки перегиба функции .

Решение. Находим область определения функции: .

Первая производная функции равна:

.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: . При переходе через точку  производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. При переходе через точку  производная не меняет знака, следовательно, в этой точке функция не имеет экстремума.

Найдём значение функции в точке минимума .

Вторая производная функции равна:

.

Приравняем вторую производную к нулю и найдем точки: . При переходе через эти точки производная меняет знак, следовательно, они являются точками перегиба.

Найдём значения функции в точках перегиба: , .

Результаты исследования сведены в таблицу:

 

x
	-	0	+	0	+
	убывает		Возрастает		Возрастает
x
	+	0	-	0	+
	вогнутость		выпуклость		Вогнутость

 

Асимптоты.

Определение. Прямая A называется асимптотой кривой, если расстояние  от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю.

Различаются вертикальные (параллельные оси ординат) и наклонные асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты.

Если ,  или , то прямая  есть асимптота кривой .

Пример: Найдите вертикальные асимптоты кривой .

Решение. Найдём область определения функции :

Найдём односторонние пределы:

;               ;

;               .

Прямые ,  являются вертикальными асимптотами.

2) Наклонные асимптоты.

Пусть кривая  имеет наклонную асимптоту . Тогда , .

Пример: Найдите асимптоты кривой .

Решение. 1) Найдём односторонние пределы:

;                       .

 - вертикальная асимптота.

2) Найдём коэффициенты k и b:

;                    .

Получаем уравнение наклонной асимптоты .