Свойства функций, непрерывных в точке

 

Определение 1. Функция  называется непрерывной в точке , если она задана в этой точке и в некоторой её окрестности и если .

Пример:

Функция  непрерывна в любой точке  и поэтому , например, .

Согласно данному определению, непрерывность функции  в точке  означает одновременную выполнимость следующих условий:

1) функция  должна быть задана в точке  и в некоторой её окрестности;

2) существуют  и ;

3) ;

4) .

Если хотя бы одно из условий 1) - 4) не выполняется, то функция  будет разрывной в точке , а точка  называется точкой разрыва функции .

Классификация точек разрыва

1. точки устранимого разрыва;

2. точки разрыва первого рода (скачки);

3. точки разрыва второго рода.

1. Примеры:

1)

 - точка разрыва,

, функция не определена в точке .

Продолжим функцию до непрерывности:

функция  непрерывна в точке .

2)

, тогда точка  является точкой разрыва.

Переопределим значение функции в точке , чтобы функция  стала непрерывной: .

Определение 2. Точка  называется точкой устранимого разрыва функции , если существует , но  или значение функции  в точке  не задано.

2. Определение 3. Точка  называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы  и , но они различны, следовательно,  не существует.

Пример:

 

 - точка разрыва,

,

,

следовательно,  - точка разрыва первого рода.

3. Определение 4. Точка  называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Примеры:

1)

Рассмотрим точку .

, ,

следовательно,  - точка разрыва второго рода.

2)

,          

,            ,

,             ,

,               

 - точка разрыва второго рода.

, следовательно, прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции .

3)

 - не существует;

 - не существует.

- точка разрыва второго рода.

 

Свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в точке .

Теорема 2. Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в точке .

Теорема 3. Частное двух функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке .

Пример:

Функция  непрерывна в любой точке  как произведение двух непрерывных функций.

 

РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Тема 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

 

Определение производной

 

Определение производной. Пусть задана функция ,  и пусть  - некоторая точка интервала . Предел

называется производной функции  в точке  и обозначается  (если последний предел существует). Таким образом, по определению,

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , , имеющая в каждой точке интервала  производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.

Обозначение производной функции :

Если ввести приращение аргумента  и приращение функции , определение производной запишется в виде

Так как  - произвольное значение аргумента, то можно обозначить его как x. Тогда получаем

Примеры:

1) Дана функция , найдите её производную.

Решение.

а) , ,

б)

в)

Таким образом, .

2) Найдите производную функции .

Решение.

а) , ,

б)

в)