Геометрический смысл производной

Пусть  - дуга некоторой линии и  – точка этой линии,  - секущая. Если точка  приближается по дуге  к точке , то секущая  будет поворачиваться вокруг точки  и стремиться к некоторому предельному положению . Тогда прямая  называется касательной к линии  в точке .

Определение. Касательной к линии  в точке  называется прямая, к которой стремится секущая , когда  стремится к .

Рассмотрим функцию . Возьмём на графике функции точки  и .

Из прямоугольного треугольника  получаем , тогда

.

Следовательно, значение производной  в данной точке x равняется тангенсу угла, образованному касательной к графику функции  в соответствующей точке  с положительным направлением оси Ox.

Пример: Найдите тангенсы углов наклона касательной к кривой  в точках , .

Решение. , .

 

Механический смысл производной

 

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент  есть производная пути по времени:

.

Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько времени после начала движения точка остановится? Найдите путь, пройденный точкой до остановки.

Решение. В момент остановки скорость точки равна нулю. Находим . Решаем уравнение , т.е. . Таким образом, после начала движения точка остановится через  с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит  м.

 

Тема 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

 

Уравнения касательной и нормали

 

Возьмём на кривой  точку  и напишем уравнение касательной к графику функции  в точке . Используем формулу:

.                                         (1)

Для касательной угловой коэффициент , . Отсюда уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид:

или

.                                 (2)

Определение. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке.

Согласно определению, угловой коэффициент нормали  равен:

.

Подставив  в уравнение (1), получим:

или

.                                       (3)

Уравнение (3) есть уравнение нормали к графику функции  в точке .

Длина отрезка QM, заключённого между точкой касания и осью Ox, называется длиной касательной, а проекция этого отрезка на ось Ox (отрезок QP) называется подкасательной. Длина отрезка MR называется длиной нормали, а проекция PR этого отрезка на ось Ox называется поднормалью.

Пример: Напишите уравнение касательной и нормали к кривой  в точке . Найдите длину подкасательной и поднормали.

Решение.

, , .

Получаем уравнение касательной  или . Уравнение нормали имеет вид  или .

Находим координаты точек ,  и . Тогда длина подкасательной равна , а длина поднормали .

 

Дифференциал функции

Пусть функция  дифференцируема на отрезке . Тогда для всех  определена производная:

.

Отсюда , где .

Тогда

.                                             (1)

Так как в общем случае , то

, .

Таким образом,  есть бесконечно малая величина одного порядка малости относительно , а  есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно . Поэтому первое слагаемое приращения функции  (по формуле (1)) есть главная часть приращения функции , линейная относительно . Это выражение  называют также дифференциалом функции  и обозначают через  или .

Таким образом,

.                                                       (2)

Если , то , отсюда . Следовательно, дифференциал независимой переменной  совпадает с её приращением. Формулу (2) можно записать в виде

.                                                        (3)

Отсюда

.                                                             (4)

Формула (4) показывает, что производную  можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Свойства дифференциала

Теорема 1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций  и  равен сумме дифференциалов этих функций:

.

Теорема 2. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций  и  определяется по формуле:

.

Теорема 3. Дифференциал частного двух дифференцируемых функций  и  определяется по формуле:

.