Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями
Теорема 1 (о пределе суммы). Если последовательности и сходятся, то их сумма тоже сходится и предел суммы равен сумме пределов: . Доказательство: Пусть , . Тогда по рассмотренной в предыдущем пункте теореме 3 имеем , где и при . Следовательно, , где при , так как сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Тогда по теореме 3 получаем: . Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности и сходятся, то их произведение сходится и предел произведения равен произведению пределов: . Доказательство: Пусть , . Тогда по рассмотренной в предыдущем пункте теореме 3 имеем , где и при . Следовательно, , где при (по теоремам 1 и 2 предыдущего пункта). Тогда по теореме 3 получаем: . Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: . Доказательство: Пусть , - постоянная, следовательно, . Тогда по теореме о пределе произведения получаем: . Следствие 2. Если последовательности и сходятся, то их разность тоже сходится и предел разности равен разности пределов: . Доказательство: самостоятельно. Теорема 3 (о пределе частного). Если последовательности и сходятся, причём и , то их частное тоже сходится и предел частного равен частному пределов: . Доказательство: Пусть , . Тогда , , где и при . Следовательно, , где при (по теоремам 1 и 2 предыдущего пункта). Тогда по теореме 3 получаем: . Примеры: 1) 2) БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся такой номер , что для всех верно неравенство . В этом случае пишут .
Теорема. Если последовательность , где , бесконечно большая, то последовательность бесконечно малая. Верно обратное утверждение: если последовательность бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая. Доказательство: 1) – бесконечно большая последовательность, тогда . Зафиксируем : , Следовательно, , т.е. последовательность – бесконечно малая. 2) - бесконечно малая последовательность, тогда
Положим : . Таким образом, для любого . Отсюда – бесконечно большая последовательность. Пример: Последовательность – бесконечно большая, тогда последовательность – бесконечно малая и .
Тема 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a. Число A называется пределом функции в точке a (или при x, стремящемся к a), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к a (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A. В этом случае пишут или при . Определение 2. Назовём окрестностью точки c любой интервал , содержащий c, а – окрестностью точки c интервал , где . Определение 3. Число A называется пределом функции при стремлении x к a (или в точке a), если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . Обозначение: или при . Графическая иллюстрация. Так как из неравенства следует неравенство , то это означает, что для всех точек x, отстоящих от точки a не далее чем на , точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и . Примеры: 1) Доказать, что . Фиксируем , покажем, что , такое, что для из условия следует .Очевидно, . 2) Доказать, что . Фиксируем , покажем, что , такое, что для всех из условия следует . , тогда , отсюда . Найдём : . Определение 4. Число A называется пределом функции при стремлении x к бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число N, что для всех x, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . При этом пишут . Предел функции при () определяется аналогично пределу функции при , только в самой формулировке определения предела функции при условие следует заменить на (). Справедлива следующая теорема: Теорема. Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 162; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.97.72 (0.023 с.) |