Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Исаева Нина МагомедрасуловнаСтр 1 из 17Следующая ⇒
Математический анализ
Тула ТППО
ББК: 74.489 И85 Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент О. А. Пихтилькова (Оренбургский государственный университет); кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Носов (Оренбургский государственный университет);
ББК 74.489 Учебно-методическое пособие Математический анализ Составители: Исаева Нина Магомедрасуловна МЫСЛИК Надежда Владимировна РАРОВА Елена Михайловна РОДИОНОВА Ольга Владимировна СИТНИКОВА Людмила Дмитриевна СОРОКИНА Наталия Владимировна Печатается с авторского оригинал-макета. Подписано в печать 24.11.2019. Формат 60´90/16. ООО «Тульское производственное полиграфическое объединение».
СОДЕРЖАНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
| 51 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Тема 1. ФУНКЦИЯ
Определение 1. Функцией (или отображением) из множества X в множество Y будем называть правило f, по которому каждому элементу из множества X соответствует единственный элемент из множества Y. 
Элемент 
называется образом элемента x при отображении f.
Определение 2. Если 
, 
, то функцию f называют действительной функцией действительной переменной.
Множество 
называют областью определения функции f, множество 
называют множеством значений функции f, 
называют аргументом функции f, а – значением функции f в точке x (
).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) аналитический;
2) графический;
3) табличный;
4) описательный.
1) аналитический способ: наиболее часто функцию задают с помощью формулы (
, 
). Под областью определения в этом случае естественно понимать множество всех значений x, для которых определено значение выражения 
.
Пример:
2) графический способ:
Определение. Графиком функции называется множество 
точек координатной плоскости.
Замечание. Некоторое множество координатной плоскости является графиком некоторой функции, если это множество имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси OY.
|
|
Наиболее важными при рассмотрении графика функции являются две задачи:
1) функция f задана аналитически. Требуется исследовать свойства этой функции и построить её график (часто это эскиз графика).
Пример:
1) 
– можно построить график точно;
2) 
– можно построить эскиз графика.
2) функция f задана графически. Требуется определить основные свойства функции, т.е. «прочитать» график.
3) табличный способ:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 
|
| y | 
| 
| 1 | 
|
|
4) описательный способ:
В случаях, когда формулу, по которой каждому ставится в соответствие , записать трудно (или невозможно), пользуются словесным описанием способа, задающего функцию.
Пример:
Каждому действительному числу x ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее x. Эта функция называется целой частью x и обозначается 
.
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
1) монотонные функции;
2) ограниченные и неограниченные функции;
3) чётные и нечётные функции;
4) периодические функции.
1) монотонные функции:
Определение 1. Функция 
называется возрастающей на множестве 
, если для любых 
из условия 
следует 
.
Определение 2. Функция называется убывающей на множестве , если для любых из условия следует 
.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Определение 3. Функция называется неубывающей на множестве , если для любых из условия следует 
.
Определение 4. Функция называется невозрастающей на множестве , если для любых из условия следует 
.
Функции всех четырёх классов называются монотонными.
Определение 5. Функция называется кусочно-монотонной, если её область определения 
можно разбить на конечное множество промежутков, на каждом из которых функция монотонна.
Примеры: 
, 
2) ограниченные и неограниченные функции:
Определение 1. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если множество 
является ограниченным сверху, то есть 
.
Определение 2. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если множество является ограниченным снизу, то есть 
.
Определение 3. Функция называется ограниченной на множестве , если множество ограничено, то есть 
.
В противном случае функция называется неограниченной.
3) чётные и нечётные функции:
Определение 1. Функция называется чётной, если:
1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то 
;
2) 
.
Определение 2. Функция называется нечётной, если:
1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то ;
2) 
.
4) периодические функции:
Определение. Функция называется периодической с периодом 
, если:
1) 
;
2) 
.
Если 
– период функции 
, то для любого 
- тоже период. Наибольшего периода не существует. Но не всякая функция имеет наименьший положительный период.
Пример:
Функция Дирихле не имеет наименьшего положительного периода, так как 
, отсюда любое 
есть период функции 
, но наименьшего положительного рационального числа не существует.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция , определённая на множестве всех натуральных чисел 
. Её обозначают 
или 
где 
.
|
|
Число 
называется n – м (общим) членом последовательности, а число n – номером члена .
Способы задания числовой последовательности:
1. Задание функции , порождающей последовательность:
(1)
Формулу (1) называют формулой общего члена последовательности. По этой формуле можно вычислить любой член последовательности.
Примеры:
1) 
.
Тогда 
и т.д.
Последовательность имеет вид: 
.
2) 
.
Тогда 
, 
, 
, 
и т.д.
Последовательность имеет вид: 0; 1; 0; 1; 0; 1; 
.
Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.
2. Рекуррентный способ задания последовательности, который состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить общий член последовательности через предыдущие члены, а также задаются несколько начальных членов последовательности. Формула, позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие члены, называется рекуррентным соотношением.
Пример: 
.
Тогда 
;
;
;
;
Последовательность имеет вид: 1; 0; -1; -2; -3; -4;….
3. Последовательность задаётся словесно, то есть описанием её членов.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример: Рассмотрим последовательность 
. Последовательность имеет вид: 
. Таким образом, 
с возрастанием номера n приближается к 8. Придадим этому утверждению точную математическую формулировку.
Зафиксируем число 
и поставим вопрос, каким должно быть n, чтобы модуль 
был меньше 0,001?
Для произвольного числа 
неравенство
(1)
равносильно неравенству 
. Так как , то неравенство (1) выполняется для всех 
, где 
– целая часть числа 
. В этом случае говорят, что предел последовательности 
равен 8 и пишут 
.
Определение 1. Пусть задана числовая последовательность . Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа найдётся такое натуральное число N, что для любого номера 
выполняется неравенство 
.
В этом случае пишут 
.
Иначе,
.
Определение 2. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть . Зафиксируем некоторое , тогда
.
Таким образом, 
. Вне интервала 
могут оказаться лишь N первых членов последовательности: 
. Среди чисел 
найдём наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно m и M. Тогда 
. Отсюда последовательность ограничена.
|
|
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Используем метод от противного. Пусть последовательность имеет два различных предела a и b (для определённости 
).
Возьмём 
, отсюда 
. Тогда справедливо неравенство:
. (2)
Отсюда 
, в частности, 
.
С другой стороны,
.
Отсюда 
, в частности, 
.
Получаем 
для 
, где 
, что противоречит неравенству (2). Теорема доказана.
Тема 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a. Число A называется пределом функции в точке a (или при x, стремящемся к a), если для любой последовательности допустимых значений аргумента 
, сходящейся к a (т.е. 
), последовательность соответствующих значений функции 
сходится к числу A. В этом случае пишут 
или 
при 
.
Определение 2. Назовём окрестностью точки c любой интервал 
, содержащий c, а 
– окрестностью точки c интервал 
, где .
Определение 3. Число A называется пределом функции при стремлении x к a (или в точке a), если для любого числа существует такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, имеет место неравенство 
.
Обозначение: или при .
Графическая иллюстрация.
Так как из неравенства следует неравенство , то это означает, что для всех точек x, отстоящих от точки a не далее чем на 
, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 
, ограниченной прямыми 
и 
.
Примеры:
1) Доказать, что 
.
Фиксируем , покажем, что 
, такое, что для 
из условия 
следует 
.Очевидно, 
.
2) Доказать, что 
.
Фиксируем , покажем, что , такое, что для всех из условия следует 
.
,
тогда 
, отсюда 
.
Найдём : 
.
Определение 4. Число A называется пределом функции при стремлении x к бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число N, что для всех x, удовлетворяющих условию 
имеет место неравенство . При этом пишут 
.
Предел функции при 
(
) определяется аналогично пределу функции при 
, только в самой формулировке определения предела функции при условие следует заменить на 
(
).
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Пределы 
и 
принято называть первым и вторым замечательными пределами ввиду их важности в дальнейших приложениях.
Теорема 1. Предел существует и равен единице.
~ 
при 
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность, пусть - угол (
).
,
,
,
,
.
Получаем неравенство 
, т.е. 
.
Поделим последнее неравенство на 
:
.
Отсюда следует
. (*)
Так как 
и 
– чётные функции, то неравенство (*) выполняется для 
, т.е. (*) имеет место в проколотой окрестности 
.
Так как 
, 
и выполняется (*), то (по теореме о пределе промежуточной функции).
|
|
Примеры:
1) 
~ при
2) 
~ при
~ 
при
~ 
при
3) 
~ при
замена: 
, 
, 
4) 
~ при
замена: 
, 
,
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Теорема. Функция 
стремится при к пределу e:
(неопределённость 
).
Обозначим 
, 
. Тогда
.
Таким образом, 
.
Некоторые примеры пределов функций.
1) 
Доказательство:
Следствие 1. Пусть 
, тогда 
, т.е. 
~ при .
2) 
Доказательство:
, замена: 
, 
Следствие 2. Пусть , тогда 
, т.е. 
~ при .
3) 
Доказательство:
,
,
По следствию 1 
~ 
при .
Следствие 3. 
, т.е. ~ 
при .
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Если при нахождении предела рассматривать значения x только слева от точки a, то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается
.
а если рассматривать значения x только справа от точки a, то такой предел называется правым или правосторонним и обозначается
.
Из этих определений следует, что если существует предел
, (1)
то существуют и односторонние пределы, причём
. (2)
Верно и обратное утверждение: если имеет место (2), то имеет место и (1).
Пример:
Найти односторонние пределы функции 
в точке 
. Существует ли у этой функции предел при ?
;
;
- не существует.
Классификация точек разрыва
1. точки устранимого разрыва;
2. точки разрыва первого рода (скачки);
3. точки разрыва второго рода.
1. Примеры:
1) 
- точка разрыва,
, функция не определена в точке 
.
Продолжим функцию до непрерывности:
функция 
непрерывна в точке .
2) 
, тогда точка является точкой разрыва.
Переопределим значение функции в точке , чтобы функция стала непрерывной: 
.
Определение 2. Точка 
называется точкой устранимого разрыва функции , если существует 
, но 
или значение функции в точке не задано.
2. Определение 3. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы 
и 
, но они различны, следовательно, не существует.
Пример:
- точка разрыва,
,
,
следовательно, - точка разрыва первого рода.
3. Определение 4. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Примеры:
1) 
Рассмотрим точку 
.
, 
,
следовательно, - точка разрыва второго рода.
2) 
, 
, 
,
, 
,
, 
- точка разрыва второго рода.
, следовательно, прямая 
является горизонтальной асимптотой графика функции 
.
3) 
- не существует;
- не существует.
- точка разрыва второго рода.
