Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Исследование функции на экстремум с помощью первой производной.
Определение. Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует её окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (), причём знак равенства имеет место лишь в случае . Замечание 1. Максимум и минимум функции не всегда являются наибольшим и наименьшим значениями функции на данном отрезке. В точках максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение лишь для точек окрестности, достаточно близких к точке максимума (минимума). На рисунке функция достигает максимума в точках , . Точки , являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в точке . Точки максимума и минимума называют точками экстремума. Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. Замечание. Необходимое условие существования экстремума не является достаточным.
Замечание. В точках, в которых производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может ни быть, ни того, ни другого. Пример 2. не имеет производной в точке , но - точка минимума этой функции. Пример 3. не имеет производной в точке , так как . Точка не является точкой экстремума. Значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Пример: Исследуйте на экстремум функцию . Решение. Имеем: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Результаты исследования сведены в таблицу:
Итак, .
|
|||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 194; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.190.58 (0.007 с.) |