Вычисление площади поверхности вращения

 

Если дуга гладкой кривой  вращается вокруг оси OX, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , где , то площадь поверхности вращения равна

.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , где , то площадь поверхности вращения равна

.

Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы  вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой x =3 a.

Решение. , , .

РАЗДЕЛ 5. варианты контрольных работ

Самостоятельная работа №1 по теме «Непосредственное интегрирование»

Вариант №1

1)              2)

Вариант №2

1)         2)

Вариант №3

1)                    2)

Вариант №4

1)             2)

Вариант №5

1)              2)

Вариант №6

1) 2)

Вариант №7

1)   2)

Вариант №8

1) 2)

Вариант №9

1)      2)

Вариант №10

1)        2)

Вариант №11

1) 2)

Вариант №12

1)                   2)

Вариант №13

1)               2)

Вариант №14

1)           2)

Вариант №15

1)                2)

Вариант №16

1)         2)

Вариант №17

1)                2)

Вариант №18

1)                2)

Вариант №19

1)                   2)

Вариант №20

1)             2)

Вариант №21

1)              2)

Вариант №22

1)           2)

Самостоятельная работа №2 по теме «Замена переменной под знаком неопределённого интеграла»

Вариант №1

1) 2)

Вариант №2

1) 2)

Вариант №3

1) 2)

Вариант №4

1)                 2)

Вариант №5

1) 2)

Вариант №6

1)      2)

Вариант №7

1) 2)

Вариант №8

1)              2)

Вариант №9

1)          2)

Вариант №10

1)              2)

Вариант №11

1)                   2)

Вариант №12

1)                   2)

Вариант №13

1)   2)

Вариант №14

1) 2)

Вариант №15

1)   2)

Вариант №16

1)   2)

Вариант №17

1) 2)

Вариант №18

1) 2)

Вариант №19

1)   2)

Вариант №20

1)   2)

Вариант №21

1) 2)

Вариант №22

1) 2)

Вариант №23

1)      2)

Вариант №24

1) 2)

Самостоятельная работа №3 по теме «Интегрирование рациональных дробей»

Вариант №1

1)    2)

Вариант №2

1) 2)

Вариант №3

1)        2)

Вариант №4

1) 2)

Вариант №5

1)      2)

Вариант №6

1)       2)

Вариант №7

1)   2)

Вариант №8

1)   2)

Вариант №9

1) 2)

Вариант №10

1)        2)

Вариант №11

1) 2)

Вариант №12

1) 2)

Вариант №13

1)       2)

Вариант №14

1)   2)

Вариант №15

1) 2)

Вариант №16

1) 2)

Вариант №17

1)        2)

Вариант №18

1) 2)

Вариант №19

1)                2)

Вариант №20

1)       2)

Самостоятельная работа №4 по теме «Интегрирование иррациональных выражений»

Вариант№1	Вариант№12
Вариант№2	Вариант№13
Вариант№3	Вариант№14
Вариант№4	Вариант№15
Вариант№5	Вариант№16
Вариант№6	Вариант№17
Вариант№7	Вариант№18
Вариант№8	Вариант№19
Вариант№9	Вариант№20
Вариант№10	Вариант№21
Вариант№11

Самостоятельная работа №5 «Интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических функций»

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

Вариант №9

Вариант №10

Вариант №11

Вариант №12

Вариант№1 3

Вариант№1 4

Вариант№ 15

Вариант№ 16

Вариант №17

Вариант №18

Вариант №19

Вариант №20

Вариант №21

Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление»

Вариант №1

1. Вычислить производные:

1) ;      2) ;      3) ;     4) .

2. Найти производную n-го порядка от функции .

3. Найти приближённые значения: 1) ; 2) .

4. Найти пределы:

1) ;           2) ;                    3) .

 

Вариант №2

1. Вычислить производные:

1) ;      2) ;

3) ;     4) .

2. Найти производную n-го порядка от функции .

3. Найти приближённые значения: 1) ; 2) .

4. Найти пределы:

1) ;           2) ;                    3) .

 

Вариант №3

1. Вычислить производные:

1) ;                          2) ; 

 3) ;                       4) .

2. Найти производную n-го порядка от функции .

3. Найти приближённые значения: 1) ; 2) .

4. Найти пределы:

1) ;                    2) ;                    3) .

 

Вариант №4

1. Вычислить производные:

1) ;      2) ;   3) ;     4) .

2. Найти производную n-го порядка от функции .

3. Найти приближённые значения: 1) ; 2) .

4. Найти пределы:

1) ;           2) ;                    3) .

Контрольное тестирование по теории функций одной переменной

Вариант №1

1. Значение предела  равно

1

2

0,5

0

2. Значение производной функции в точке равно

0

-1

1

2

4

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  в его точке с абсциссой

0

1

2

3

4

4. Точкой минимума функции  является точка х, равная

                    0                           3                         -3

5. Найдите интеграл

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

12                             11                       13                      10                       14

Вариант №2

1. Значение предела  равно

1

3

4

-1

0

2. Значение производной функции  в точке   равно

-1

1

0

0,25

0,5

3. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой  в точке A(8;32).

1

32

8

16

4

4. Найдите точки экстремума функции .

 0; - 2                    0                           -2                         1                          0; - 1

5. Найдите интеграл

6. Площадь фигуры, ограниченной линиямиy=lnx, x=e,  равна

1                              3                         2                          6                          4

 

Вариант №3

1. Значение предела  равно

2

4

6

8

0

2. Значение производной функции  в точке  равно

1

2

0,5

0

-2

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  в его точке с абсциссой

10

14

-10

-14

0

4. Найдите точки перегиба функции .

нет                      1                            0                           - 1                       ±1

5. Найдите интеграл .

6. Площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4, x=1, x=4, y=0 равна

                6                           1                           

 

Вариант №4

1. Значение предела  равно

1

0,25

2

0

2. Значение производной функции в точке  равно

1

2

3

4

5

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  в его точке с абсциссой

1

-4

-1

4

0

4. Найдите точки перегиба функции .

2; 4

 2

 2; 1

 2; 2

 Нет

5. Найдите интеграл .

6. Площадь фигуры, ограниченной данными линиями , ,  равна

 

Вариант №5

1. Значение предела  равно

1

0

2

-1

2. Значение производной функции в точке  равно

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  в его точке с абсциссой

1

-5

-1

5

2

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-2;3].

2; - 18

-2; - 18

2; -2

-2; 16

2; 0

5. Найдите интеграл .

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

32/3                          31/3                 11                        30/3                   34/3

 

Вариант №6

1. Значение предела  равно

0

10

15

20

5

2. Значение производной функции  в точке равно

-4

0

6

4

1

3. Уравнение касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , имеет вид

y=2x

y=1-x

y=1-2x

y=-2x

y=2x+1

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [0;4].

8; 0

4; 0

1; 0

1;4

8; 4

5. Найти интеграл .

6. Площадь фигуры, ограниченной линиями ,  равна

                     1                        6                        2

 

Вариант №7

1. Значение предела  равно

1

0

1/8

1/3

1/7

2. Значение производной функции  в точке  равно

2/3

1/3

-1/3

0

1

3. Уравнение касательной к кривой  в точке х=1 имеет вид

х+у-2=0

х=0

у=0

х+у-1=0

х+у+1=0

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-2;2].

13; 4

13; 2

13; -2

13; 0

4; -2

5. Найдите интеграл

6. Площадь фигуры, ограниченной линиями ,  равна

                      1                          6                      32

 

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

ЗАДАНИЯ	ОТВЕТЫ
1. Значение предела  равно	1) 7 5) 5	2) 1/7	3) 1/5	4) 5/7
2. Значение предела  равно	1) 2 5) 0	2) 3	3) 6	4) 4
3. Значение предела  равно	1) 0 5) 4	2) 1	3) -1	4) 2
4. Значение предела  равно	1) 2/3 5) 3 9) 5	2) 6) -1/3 10) -1/2	3) -2 7) -1/4 11) 1	4) 4 8) 0 12) 7
5. Значение выражения  равно	1) 1/3 5) -1 9) 1/8	2) 1 6) 4 10) 1/7	3) -1/3 7) -4 11) -1/7	4) 0 8) 1/9 12) 10
6. Значение выражения  равно	1) 2/3 5) 1/3 9) 5/4	2) 6) -1/3 10) -1/2	3) -2/3 7) -1/4 11) 1	4) 1/4 8) 0 12) 7
7. Найдите производную функции .	1)	2)	3)	4)
8. Значение производной функции  в точке  равно	1) 2 5) 9 9) 5	2) 0 6) -1 10) -9	3) 1 7) -5 11) -2	4) 4 8) 8 12) -8
9. Найдите производную функции .	1)	2)	3)	4)
10. Наименьшее значение функции  на отрезке [-3;8] равно	1) -10 5) 5 9) -5	2) 10 6) 1 10) -27	3) -25  7) -11 11) -3	4) -28 8) -26 12) -1
11. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  в его точке с абсциссой	1) 10 5) 14	2) --14 6) -10	3) -1 4) -3	4) 3 5) 1
12. Уравнение касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , имеет вид	1) 5)	2)	3)	4)

 

13. Уравнение касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , имеет вид	1) 5)	2)	3)	4)
14. Найдите момент остановки тела, движущегося по закону .	1) 8	2) -3	3) 2,5	4) -2,5
15. Точкой максимума функции  является точка , равная	1) 0 5) -0,5	2) 1 6) 0,75	3) -1 7) -0,75	4) 0,5 8) 2
16.Найдите интеграл .
17. Найдите значение интеграла .	1) 2/3	2) -1/2	3) -1/3	4) 1/5
18. Укажите первообразную функции .	1)	2)	3)	4)
19. Укажите первообразную функции .	1)	2)	3)	4)
20. Найдите значение интеграла .	1) -11/93	2) 83/24	3) -16/17	4) 10/81