Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

В трансцендентных уравнениях неизвестные входят под знаком трансцендентных функций, то есть неалгебраических, то есть тригонометрических показателей и др.

Пусть дано уравнение

                          (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).

Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) складывается обычно из двух этапов:

1. отделение корней, то есть установление возможно тесных промежутков [α, β], в которых содержится один и только один корень уравнения (1);
2. уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной степени точности.

Для отделения корней используются следующая теорема:

Теорема

Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезков [a, b], то есть , то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. если производная сохраняет свой знак на отрезке [a, b], то корень будет единственный.

Процесс нахождения корней

Определяем знаки функции f(x) в ряде точек из области определения функции х₁,х₂,х₃,…, выбор которых учитывается особенностью функции f(x). если окажется, что , то на отрезке [x_k,x_k+1], то имеется по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Необходимо каким-либо способом проверить, является ли этот корень единственным.

Пример:

       Определить действительные корни уравнения:

х	-1	0	1	2	3
f(x)	-	-	-	-	+

 

На отрезке [2,3] имеется корень уравнения, так как  при всех х, то этот корень единственный.

Для отделения корней можно использовать графические методы.

Нахождение корней методом половинного деления

Пусть дано уравнение f(x)=0,                                       (1)

Причем f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и . Делим отрезок пополам и находим середину

Если f(x₁) ≠0 то для продолжения вычисления выберем ту из частей данного отрезка [a, х₁] или [х₁, b]. Концы нового отрезка обозначим через a₁ и b₁ .

Продолжаем процесс пока не получим либо точный корень уравнения (1) либо не достигнуто значение с заданной точностью. Для оценки точности используется соотношение:

                                                                  (2)

Из (2) получаем:

                                   (3)

 с погрешностью ε не превышающей

Пример:

       Методом половинного деления с точностью ε = 10^-2 найти корень уравнения

1. Определяем корни уравнения при  

x	0	+1
f(x)	+	-

 

1. Уточняем значение корня:

и т.д.

Заданная точность достигается на седьмом шаге.

х7 =0.8828125 с погрешностью d7=0,0078125<ε=0.01