Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Общая схема метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение
Пусть . (В противном случае в качестве первого уравнения возьмем какое-либо другое). Разделим первое уравнение на . Получим , (4) где ; , Умножим разрешающее уравнение (4) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (3). Аналогично преобразуем остальные уравнения. Система примет вид (5) где
Если какой-либо из коэффициентов окажется равным нулю, то j-ое уравнение системы (3) войдет в систему (5) без изменений т.е.
(То есть если в какой-либо из уравнений отсутствовала переменная , то уравнение не преобразуется). Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5), сделаем разрешающим второе уравнение и применим описанную процедуру к системе из n-1 уравнений, исключая из оставшихся уравнений. Получим систему
где
Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (3) к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов (6) Прямой ход решения выполнен. Обратный ход: a) последовательно исключаем неизвестное , начиная с уравнения и заканчивая первым. Получаем (7) Затем исключаем неизвестное из уравнений с номером j и т.д. В результате получаем решение системы Для уменьшения погрешности вычислений существуют различные модификации метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором максимального элемента по столбцу В начале первого шага прямого хода среди коэффициентов при неизвестном находят наибольший по модулю. Пусть это . После этого в исходной системе делают перестановку: меняют местами 1-ое и j-ое уравнения. Далее выполняют описанные действия. В начале второго шага прямого хода максимальный по модулю элемент выбранный среди коэффициентов при неизвестном . Снова возможна перестановка уравнений и исключение из третьего и последующих уравнений и т.д. При выполнении процедуры прямого хода возможны следующие случаи: 1. матрица А приводится к треугольной (получаю решение). 2. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (ранг матрицы А< n) – Это происходит, если в системе получаются в процессе преобразований тождества 0=0. Система имеет бесконечное множество решений.
3. все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, свободный член отличен от нуля. Система не имеет решения.
Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента (по столбцу)
ЛЕКЦИЯ 4
Метод итераций Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1) Если все диагональные элементы , то систему (1) можно представить в приведенном виде (2) где Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде (3) В качестве начального приближения возьмем вектор b и подставим его в уравнение (3). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений: - первое приближение -второе приближение (4) ......... - (k+1)-ое приближение. Если существует предел x последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что x является решением уравнения (3), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса: Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (3) имеет единственное решение x, к которому стремится последовательность итераций (4) при любом выборе начального приближения. Под нормой матрицы понимают следующие выражения: (m – норма - максимальное значение суммы модулей элементов строки) (l – норма - максимальное значение суммы модулей элементов столбца) (k - норма)
Пример: для матрицы
В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (3) на k-м шаге оценивают неравенством , (5) где - норма вектора X
m-норма или кубическая норма l-норма или октаэдрическая норма k-норма или сферическая норма. Из неравенства (5) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности e. Отклонение приближения от решения x по норме не будет превышать e, если
(6)
Для вывода (6) достаточно рассмотреть равенства: ; ; ; ; ; и т.д. Далее . И, учитывая, что , т.к. норма . В неравенствах (5) и (6) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы. Неравенство (6) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (6) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью e. (7) Пример: Найти решение системы уравнений
методом итераций с точностью 10-2. Решение: Приведем систему к виду (2) Запишем последовательность итераций (8) Для приведенной матрицы достаточное условие сходимости выполняется по m-норме: В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы . Число итераций для достижения заданной точности определяем из неравенства (6) , которое запишем так: , действительно: . ; т.к. то ; . Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (8) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (6) в виде:
. Первое приближение: Следовательно, дает значение корня ξ с погрешностью, не превышающей величины . Далее последовательно находим: ; . Третья итерация: ; . Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 107; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.98.13 (0.025 с.) |