Уравнение моментов количества движения применительно к двухмерной модели лопаточных машин

 

       Для установления связи величины подводимой (или отводимой) в ЛМ работы с элементами кинематики потока в теоретической механике используется закон сохранения моментов количества движения, который записывается в виде

                  (1.25)

и означает, что момент равнодействующей всех внешних и внутренних сил, действующих на некоторый объём относительно произвольно выбранной оси, равен секундному изменению момента количества движения выделенного объёма относительно той же оси.

       Рассмотрим планы скоростей элементарных ступеней ОК и ОТ (рис. 1.17) и применим к ним выражение (1.25). Рассматривая выражение (1.25) для элементарной ступени ОК и полагая, что массовый расход рабочего тела m _c = r _i × c_{a i} × h _{л i} t_i, получим

.                   (1.26)

       Поскольку в осевой ЛМ r ₂ = r ₁, то, умножая обе части уравнения (1.26) на w (частоту вращения ротора), имеем

.                    (1.27)

       Если разделить D N _к на D m_c, то получим H_th - удельную теоретическую работу. Тогда (1.27) примет вид:

                          (1.28)

или

,                      (1.29)

если u = const. Это означает, что удельная теоретическая работа, подводимая к рабочему телу в элементарной ступени ОК, численно равна произведению окружной скорости на разность проекций абсолютной (относительной) скорости на направление вращения.

       Если внимательно посмотреть на план скоростей элементарной ступени ОК, то можно записать:

Вычитая почленно из (2) уравнение (1), с учётом (1.28) имеем:

,                         (1.30)

т.е. работа, подводимая в элементарной ступени ОК, тратится на изменение кинетической энергии в РК и НА.

       Уравнение моментов количества движения для элементарной ступени ОТ запишется в виде

.

       В случае ОТ при принятой номенклатуре углов (см. рис. 1.17, б) и условии r ₁ = r ₂ получим

.                       (1.31)

       Умножив обе части выражения (1.31) на w, а также учитывая, что H _{т и} = D N _{т и} /D m_c, имеем

                        (1.32)

или при условии u = const

.                (1.33)

       Записывая, по аналогии с элементарной ступенью ОК, вытекающие из плана скоростей ОТ соотношения, получаем:

       Складывая почленно (2) и (1), можно записать:

,                       (1.34)

т.е. удельная теоретическая работа, совершаемая газом на лопатках РК ступени ОТ, получается за счёт изменения кинетической энергии в СА и РК.

       Уравнения (1.16) и (1.25) применительно к осевым ЛМ позволяют сделать следующие выводы:

       К и Т действительно являются обращёнными ЛМ. Это означает, что рабочий процесс в них аналогичен, но обращён, а описывающие его уравнения имеют одинаковую форму (см., например, (1.30) и (1.34)).

       Существенно принципиальным различием является то, что в ступени ОК dp > 0 (идет процесс торможения потока), т.е. процесс диффузорный, а в элементарной ступени ОТ dp < 0 (идет процесс разгона потока), т.е. процесс конфузорный. Поскольку диффузорный процесс сопровождается большими потерями, чем конфузорный, угол раскрытия диффузора, характеризуемый Db, ограничивают, в результате Db_к << Db_т. При этом обычно в ступенях ОК Db_к = 20...30°, а в ступенях ОТ Db_т = 100...120°.

       Из изложенного вывода следует, в частности, что H _{т u} >> H_th и, следовательно, число ступеней z _т существенно меньше z _к.

       Рассмотренные в разделах 1.9...1.13 уравнения, описывающие рабочий процесс моделей осевых ЛМ, позволили существенно расширить представление о характере течения газа в элементах ЛМ и преобразованиях энергии в них. Однако представления о рабочем процессе в ЛМ не будут законченными, если не ввести в рассмотрение оценки эффективности процессов в К и Т.