Системы массового обслуживания

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

       Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

       В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.

Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий поток; каналы обслуживания и выходящий поток.

 

Входящий                                                каналы                       выходящий

поток                 очередь             обслуживания                    поток

                                • • • •           •                        

                                                                  •              •      

                                                                               •

Каждая поступившая заявка и принятая на обслуживание внутри системы обрабатывается некоторое время, называемое временем обслуживания. Все заявки поступают случайным образом не зависимо друг от друга.

График работы СМО представляет собой ступенчатую функцию, т. е. состояние системы изменяется скачкообразно.

Системы массового обслуживания классифицируют по

I. По способу обработки входного потока заявок СМО делятся на:

1. С отказами без очереди:

2. С отказами с очередью:

а. Неограниченная очередь;

б. Ограниченная очередь:

· По длине очереди;

· По времени обслуживания.

в. Очередь с приоритетами:

· Абсолютный приоритет;

· Относительный приоритет;

· В порядке поступления

 

II. По способу функционирования:

1. Открытые – поток заявок не зависит от внутреннего состояния;

2. Закрытые – входной поток зависит от состояния системы.

Схема гибели и размножения

Большинство реальных процессов, протекающих в технике, экономике, транспорте, можно описать с помощью размеченного графа специального вида:

 

                λ₁₂                   λ₂₃                  λ₃₄ λ_{n-1, n}

S3

Sn

S2

Si

                                                                                      …

                                                                                      …

                          λ₂₁                       λ₃₂                        λ₄₃ λ_{n, n-1}

Особенностью данного графа является то, что каждое состояние, кроме первого и последнего связано только предыдущим и последующим состоянием.

Вычислим финальные вероятности событий:

1. Для события S ₁: λ ₁₂ p₁= λ₂₁p₂

2. Для события S ₂: (λ ₂₃ + λ ₂₁) p ₂ = λ ₁₂ p ₁ + λ ₃₂ p ₃

Выполним преобразования:

λ₂₃p₂= λ₃₂p₃.

3. для события S ₃: λ ₃₂ p ₃ = λ ₄₃ p ₄

4. Для события S_n: λ_{n -1, n} p_{n -1} = λ_{n , n -1} p_n.

Получим систему линейных уравнений:

λ₁₂ p₁= λ₂₁ p₂

λ₂₃ p₂= λ₃₂ p₃

…

λ_{n-1, n} p_n-1= λ_{n, n-1} p_n

Используя условие p₁+ p₂+ p_n=1 (2) из первого уравнения выразим p₂ через p₁:

Из второго уравнения выразим p₃ через p₁:

                                        (3)

В числителе формулы (3) стоит произведение интенсивности потоков событий с увеличивающимся номером событий. В знаменателе – произведение интенсивности потоков событий с уменьшающимся номером событий.

После выполнения указанных действий все интенсивности событий выражены через одну вероятность p₁.

Используя выражение (2) преобразуем формулу (3) к виду:

                                        

 (4)

Остальные вероятности можно вычислить, используя выражение (4), подставляя необходимое количество членов ряда в знаменателе.