Занятие 7. Корреляция и регрессия

 

Расчетное время – 2 часа.

В агрономических исследованиях чаще всего встречаются такие соотношения между переменными, когда каждому значению признака Х соответствует не одно, а множество возможных значений признака У, т.е. их распределение. Такие связи, обнаруживаемые лишь при массовом изучении признаков, в отличии от функциональных (когда каждому значению одной величины соответствует строго определённое значение другой) называются вероятностными, или корреляционными.

Корреляционные связи характеризуются двумя основными показателя- ми – теснотой связи и формой связи. Для измерения тесноты и формы связи используют статистические методы, называемые корреляцией и регрессией.

Зависимость называется корреляционной, если с увеличением средней величины первого признака увеличивается средняя величина второго, или, наоборот, с увеличением средней величины первого признака второй уменьшается. В первом случае корреляция и регрессия – прямая, или положительная, во втором – обратная, или отрицательная (направление корреляции). По форме корреляция  и регрессия может быть линейной и криволинейной. Корреляцию и регрессию называют простой, или парной, если исследуется связь между двумя признаками, и множественной, когда изучается зависимость между тремя и более признаками.

Регрессией называют изменение результативного признака У (функции) при определённом изменении одного или нескольких факториальных (аргументов). Связь между функцией и аргументом выражается уравнением регрессии, или корреляционным уравнением. При простой регрессии уравнение кратко обозначается У=f(X) и при множественной У=f (X, Z, V…). Для оценки тесноты (силы) связи используют коэффициенты корреляции и корреляционное отношение.

Линейная корреляция – это такая зависимость между двумя признаками Х и У, которая носит линейных характер и выражается уравнением приямой линии У = а+вХ. Это уравнение называется уравнением регрессии У на Х, а соответствующая ему прямая линия – выборочной линией регрессии У на Х. Линейная регрессия – это такая зависимость, когда при любом значении аргумента Х одинаковые приращения его вызывают одинаковые изменения функции У. Когда при одинаковых приращениях аргумента функция имеет неодинаковые изменения, регрессия называется криволинейной.

В агрономии большинство связей криволинейные. Однако некоторые из них близки к линейным и их удобней анализировать как линейные зависимости, вычисляя коэффициент корреляции (r) – числовой показатель простой линейной корреляции, указывающий на тесноту (силу) и направление связи Х с У. Данный показатель рассчитывается по формуле:

 

.

 

Значение коэффициента корреляции лежит в пределах от +1 до -1. Если

r = 0,0 – корреляция отсутствует;

r £ 0,3 – корреляция слабая;

r = 0,3-0,7 – корреляция средняя;

0,7 < r <1,0 – корреляция тесная (сильная);

r = 1,0 – корреляция полная (функциональная зависимость).

Квадрат коэффициента корреляции (r²) называется коэффициентом детерминации и обозначается d_УХ. Он показывает долю (%) тех изменений, которые в данном явлении зависят от изучаемого фактора.

Задача 1. Провести анализ зависимости между длинной листьев озимой пшеницы и их площадью (табл. 24).

Таблица 24. Вычисление корреляционной зависимости между длиной листа озимой пшеницы (см) и его площадью (см²).

№ пар	Длина листа, см (Х)	Площадь листа, см^2(У)	Х-	У-	(Х- )(У- )	(Х- )^2	(У- )^2
1	15,0	6,21	-6,4	-7,89	49,9	38,4	60,8
2	16,2	7,50	-5,2	-6,5	33,8	27,0	42,3
3	17,5	9,10	-3,9	-4,9	19,1	15,2	24,0
4	18,9	10,0	-2,5	-4,0	10,0	6,25	16,0
5	20,2	11,7	-1,2	-2,3	2,76	1,44	5,29
6	20,5	12,0	-0,9	-2,0	1,8	0,81	4,0
7	20,7	12,5	-0,1	-1,5	0,15	0,01	2,25
8	20,9	12,9	-0,5	-1,1	0,55	0,25	1,21
9	21,3	13,1	-0,1	-0,9	0,09	0,01	0,81
10	21,7	13,6	0,3	-0,4	-1,2	0,09	0,16
11	22,0	14,0	0,6	0,0	0	0,36	0,0
12	22,2	15,0	0,8	1,0	0,8	0,64	1,0
13	22,2	15,5	0,8	1,5	1,2	0,64	2,25
14	22,6	15,8	1,2	1,8	2,16	1,44	3,24
15	22,9	16,2	1,5	2,2	3,3	2,25	4,84
16	23,0	17,0	1,6	3,0	4,8	2,56	9,0
17	24,1	18,1	2,7	4,1	11,1	7,29	16,81
18	24,9	19,1	3,5	5,1	17,9	12,3	26,0
19	25,4	20,2	4,0	6,2	24,8	16,0	38,4
20	25,3	21,1	3,9	7,1	27,7	15,21	50,4
Сумма	427,5	279,81	Σ≈0	Σ≈0	Σ= 210	Σ = 148	Σ =309
Среднее	= 21,4	= 14,0	-	-	-	-	-

Количество пар (n) = 20.

 

Корреляционный анализ. Вычисления проводят по формулам:

1. Коэффициент корреляции

.

2. Стандартная ошибка коєффициента корреляции

.

3. Критерий достоверности коэффициента корреляции

.

Теоретическое значение критерия Стьюдента находят по числу степеней свободы ν_r = n-2 = 20-2 = 18;

     t_0,95 = 2,1; t_0,99 = 2,88.

Вывод 1. Так как коэффициент корреляции r = 0,98 (≈ 1), то связь между длиной листа озимой пшеницы и его площадью сильная, почти полная. При этом знак «+» показывает, что коэффициент корреляции положительный, а, следовательно, корреляция прямая.

 

Вывод 2. В связи с тем, что фактический критерий достоверности коэффициента корреляции равен 20,9, что значительно больше теоретических значений to,95 (2,1) и t0,99 (2,88), поэтому связь между длиной листа озимой пшеницы и его площадью достоверна на наивысших уровнях значимости.

 

Если количество пар незначительное, тогда оценка достоверности коэффициента корреляции искажается. Р. Фишер предложил оценивать достоверность по критерию t_Z, пользуясь формулой t_Z =

Значения Z находят в приложении 7 для определённого значения коэффициента корреляции r. Например, n = 7, r = 0,69. В этом случае               

Z = 0,848, а t_Z = 0,848 = 1,7.

Число степеней свободы ν_r = n-2 = 7-2 = 5, для которого t_0,95 = 2.57, а    t_0,99 = 4,03. Так как t_Z = 1,7, что меньше t_0,95 и t_0,99, то связь недостоверная.

Для оптимизации количества пар (повторностей) при изучении корреляционной связи применяют формулу

n_ОПТ = ,

где t – критерий Стьюдента для ν_r, которое для приведеного выше примера составляет n-2 = 7-2 = 5. При этом t_0,95 = 2,57, a t_0,99 = 4,03; Z – показатель, предложенный Р.Фишером, в нашем примере равен 0,848.

Оптимальное количество пар определяют по формулам

1) n_0,95 = 2,57²/0,848² + 3 = 12,2 ≈ 13 (пар);

2) n_0,99 = 4,03²/0,848² + 3 = 25,6 ≈ 26  (пар).

Таким образом, для проведения корреляционного анализа на уровне Р_0,95 необходимо иметь выборку из 13, а на уровне Р_0,99 – из 26 пар.

Регрессионный анализ. При сильной и достоверной связи в любом направлении (прямой или обратной) осуществляют регрессионный анализ.

1. Коэффициент регрессии – R_yx. Для нашего примера логично вычислить изменение площади листа озимой пшеницы при изменении его длины на 1 см:

 

(см² на 1 см длины).

 

2. Площадь листа (У) при его длине (Х) вычисляют по уравнению 

регрессии

 

у =  + R_yx (х - ) = 14+1,42 (х-21,4).

Значения х получают после измерения длины 20-30 листьев пшеницы и определения их средней длины. Например, среднее значение длины листа составляет 21,7 см (10-я пара в табл. 24). Фактическое значение площади листа при этой длине составляет 13,6 см², а расчетное будет таким:

у = 14+1,42 (21,7-21,4)= 14+0,43 = 14,4 см².

Разница между расчётной площадью и фактической составляет           14,4 – 13,6 = 0,8 см², или х = 0,8·100/13,6 = 5,9%.

Таким образом, по уравнению регрессии площадь листа вычислена с удовлетворительной точностью. Умножив площадь одного листа на их количество, получим общую листовую поверхность на одном растении или на определённой площади посева.

 

 

          Производственный сельскохозяйственный опыт