Расчеты параметров вариационного ряда

 

 , средняя арифметическая = (åfх)/n = 300/100 = 3.

 

S²(g²), дисперсия = å×f×(X- )² /(n-1) = 164/99 = 1,65.

 

S(g), среднее квадратическое отклонение от  = = = ± 1,28.

 

V, коэффициент вариации  = S/x ×100 = (1,28/3)×100 = 42,7%.

 

S x, ошибка выборочной средней = =  = =0,128.

S x %, относительная ошибка выборочной средней (точность опыта) =             

     = = = 4.3%.

Рис. 6.1. Кривая вариационного ряда

Выводы

1. Среднее количество всходов на 1 пог. м. = 3 + 0,128, т.е. при повторных подсчетах оно может колебаться в пределах 2,872-3,128.

2. Густота посевов не выровнена, т.к. коэффициент вариации значительный (42,7%).

3. Точность вычисления (анализа) – удовлетворительная (4,3%).

4. Кривая вариационного ряда близка к синусоиде, т.е. к нормальному распределению.

 

Для справки:

если V (коэффициент вариации) <10% - варьирование незначительное;

                         если 10%<V<20% - варьирование среднее;

                         если           V>20% - варьирование значительное;

    если         Sx% < 2%     -  отличная точность вычисления;

     если 2 < Sx% < 4%     - хорошая точность вычисления;

    если 4 < Sx% < 5%    - удовлетворительная точность вычисления;

    если       Sx% > 5 % -  низкая точность вычисления.                    

 

Задача: Составить непрерывный вариационный ряд значений замера

            диаметра корзинки подсолнечника.

 

Замеры диаметра корзинки подсолнечника проводились в фазу спелости (восковая окраска тыльной стороны) в 5-ти местах по 10 растений подряд.

 

Таблица 16. Диаметр корзинки подсолнечника, см

Ряд, №	№ растения
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1	18,5	19,2	19,4	22,0	18,6	18,9	19,3	20,1	19,8	20,3
2	18,7	18,5	15,5	18,9	18,5	18,5	19,4	20,8	20,2	19,8
3	19,1	16,8	18,4	18,9	17,0	20,0	21,2	18,1	17,9	19,6
4	19,4	18,9	19,3	17,2	19,4	18,7	20,0	20,2	19,5	20,3
5	17,8	17,6	21,0	18,0	18,2	17,9	18,1	22,4	18,0	17,5

 

X_min, наименьший диаметр = 15,5 см.

X_max, наибольший диаметр = 22,4 см.

X_max - X_min = 6.9»7 cм.

Выделяем 7 классов с разницей = 1 см и группируем в них замеры.

 

Таблица 17. Составление и обработка вариационного ряда

Х	Хv среднее	f	fXv	X^2v	fXv
15,5-16,4	16	1	16	256	256
16,5-17,4	17	3	51	289	867
17,5-18,4	18	10	180	324	3240
18,5-19,4	19	20	380	361	7220
19,5-20,4	20	11	220	400	4400
20,5-21,4	21	3	63	441	1324
21,5-22,4	22	2	44	484	968
å	-	50	954	-	18274

 

Расчеты: х – среднее арифметическое = åfX_v/n = 954/50 = 19,1 см;

 

         C – корректирующий фактор = (åfX_v)²/n = 954²/50 = 18202;

 

          S² – дисперсия = (åfX²_v –С)/n-1 = (18274-18202)/50-1 = 1,46;

 

          S – среднее квадратическое отклонение = = = ±1,2 см;

 

          V – коэффициент вариации = (S/x)×100 = (1,2/19,1)×100 = 6,3%;

 

          – ошибка средней =  S/Ön = 1,2/Ö50 = ±0,17 см;

          % - относительная ошибка (точность) =  = 0,9%.

                                                                        

Выводы

 

1. Средний размер диаметра корзинки подсолнечника составляет           19,1±0,17 см (18,93-19,27). 

2. Варьирование вариационного ряда – слабое (V<10%).

  3. Точность определения – отличная (<2%).

         

Расчет объёма выборки

 

Количество повторностей в опыте, замеров, учетов, подсчетов и т.д. зависит от варьирования изучаемого объекта и требуемой точности. Оно определяется статистическим методом в каждом отдельном случае.

Задание: Определить необходимое минимальное количество повторностей в полевом опыте на основании результатов рекогносцировочного посева и дробного учета урожая зерна ячменя для двух уровней значимости (n₁ = 05; n₂ = 01), т.е. ошибка опыта не должна превышать в первом случае 5% ( % = 5%), а во втором – 1% ( % = 1%).

 

Таблица 18. Расчет количества повторностей

№№ делянки	Урожайность ячменя, кг/делянку - Х	Х -	(Х – )^2
1	18,5	0,0	0,00
2	18,7	0,2	0,04
3	19,1	0,6	0,36
4	19,4	0,9	0,81
5	17,8	-0,7	0,49
6	19,2	0,7	0,49
7	18,5	0,0	0,00
8	17,3	-1,2	1,44
9	18,9	0,4	0,16
10	17,6	-0,9	0,81
å	185,0	0,0	4,60
	18,5	-	-

 

Расчеты

            

= åf × х/n = 185/10 = 18,5 – (средняя арифметическая).

    

S = = = ± 0,7 –  (среднее квадратическое отклонение).

V = =  = 3,8 % – (вариационный коэффициент).

                                

                Для справки: V < 10 % – варьирование слабое,

                                       V = 10 – 20 % – варьирование среднее,

                                       V > 20 % – варьирование сильное.

 

S % = – (относительная ошибка, по условию опыта £ 5%).

 

S  = = 0,9 кг/дел.

 

n ₀₅ = = 2,4 раза, округляем до 3.

 

n₀₁ =  = 5,4 раза, округляем до 6.

 

   

Вывод: При данном состоянии пестроты урожайности для проведения
полевых опытов с допустимой ошибкой не более 5% достаточна 3-х кратная повторность, а с ошибкой не более 1% - 6-ти кратная повторность.

 

Задание: Рассчитать минимальное количество замеров высоты растений подсолнечника, необходимое для определения средней высоты растений с допустимыми ошибками 5% и 1% (1-й и 2-й уровни вероятности).

 

Расчеты

 

1. Замеряем высоту 5-ти растений подряд:

                                Высота, см: 200; 190; 178; 160 и 185 см.

2. Определяем размах колебаний высоты:

              Х max = 200 cм, X min = 160 cм;

              R = X max – X min = 40 cм (размах колебаний).

3. Находим среднюю арифметическую величину:

              х = (Х max + X min) / 2 = (200 + 160) / 2 = 180 cм.

4. Находим среднее квадратическое отклонение:

              S = k×R = 0,43 ^.  40 = 17,2 cм.

        

 

Таблица 19. Табличное значение k - коэффициента Пирсона (приложение 6)

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	0,89	0,59	0,49	0,43	0,40	0,37	0,35	0,34	0,32

                

5. S % = S  /   ^. 100 = £ 5% или £ 1% - по условию.

             

     Отсюда: S  = (S % ^. ) / 100 = (5 ^.  180) / 100 = 9 cм (ошибка).

 

6. n ₀₅ = (2S / S )² = (2^{2  .}  17,2²) / 9² = (4 ^. 295,84) / 81 = 14,6» 15.

 

     n ₀₁ = (3S / S )² = (3^2. 17,2²) / 9² = (9 ^. 295,84) / 81 = 32,85» 33.

 

Вывод. Для определения средней высоты растений подсолнечника с

ошибкой не более 5% достаточно 15 замеров растений, а с

ошибкой £ 1% необходимо не менее 33 замеров (подряд).

 

Дисперсионный анализ

 

Дисперсионный анализ – основной и наиболее распространённый метод математической обработки результатов исследований. Он позволяет оценить методику исследований по величине относительной ошибки (точности) –

S %, и достоверность разницы между вариантами.

Если Sx%  менее 2%, точность отличная, нарушений методики нет.

Если  2 < Sx% < 4% - хорошая точность;

если 4 < Sx% < 5% - удовлетворительная точность;        

если Sx% более 5% - точность опыта низкая.

Если разница между вариантами больше (с плюсом или минусом) НСР – она существенна, меньше НСР – несущественна.

1. Пример проведения статистической обработки урожайных данных результатов исследований методом дисперсионного анализа в однофакторном полевом опыте: ”Влияние боронования на урожай подсолнечника”

Условные (статистические) обозначения:

l – число вариантов в опыте;

n – количество повторений;

Х – поделяночный урожай;

Х – средний урожай по вариантам;

Х_p - средний урожай по повторениям;

Х₀ – средний урожай по опыту;

d – разница между вариантами и контролем;

А – произвольное начало (округленное до целого числа значение ₀);

V – сумма по вариантам;

Р – сумма по повторениям;

V_A – cумма отклонений от А по вариантам;

Р_А – сумма отклонений от А по повторениям;

С – корректирующий фактор;

С_У – общее варьирование (общая дисперсия);

С_V  - варьирование вариантов (дисперсия вариантов);

С_Р – варьирование повторений (дисперсия повторений);

С_Z – случайное варьирование (остаточная дисперсия);

n - число степеней свободы;

Sx – ошибка опыта;

Sx % - точность опыта (относительная ошибка);

НСР₀₅ – наименьшая существенная разность (для 5%-го уровня

          значимости);

å - сигма, знак суммирования;

F₀₅ – критерий Фишера F;

t₀₅ - критерий Стьюдента t;

Н₀ – нулевая гипотеза.

Исходные данные и расчетные показатели оформляются в таблицу.

№ вар.	Варианты	Х	V	X	d	X-A	VA	(X-A)^2	V^2A
		І ІІ ІІІ IV				І ІІ ІІІ IV		І ІІ ІІІ IV
1 2 3								å(X-A)^2	åV^2A
	P XP							å p^2A	[å(X-A]^2

В нашем случае данная таблица приобретёт следующий вид (табл. 20).