Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Пусть x − независимая переменная, y = y (x) − искомая неизвестная функция.

Дифференциальное уравнение – основной математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике, астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии, экономике, биологии и медицине. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученным Г. Галилеем. Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа И. Ньютон.

Решение задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.

Пусть x − независимая переменная, y = y(x) − искомая неизвестная функция.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Например, уравнения , ,  являются дифференциальными уравнениями.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

y + xy ^/=0 – дифференциальное уравнение 1-го прядка

 - дифференциальное уравнение 2-го порядка

 - уравнение n -го порядка

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Существуют задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим одну из них.

Размножение бактерий. На опытах с бактериями установлено, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, если, конечно, для них имеется достаточный запас пищи.

Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста массы бактерий называется скоростью размножения.

Если через число x(t) обозначить массу всех бактерий в момент времени t, то  будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размножения  пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная k такая, что

 = kx.                                                                           (1)

По условию x(t) и x^/(t) неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже неотрицательный.

Уравнение (1) является простейшим примером дифференциального уравнения. Оно называется дифференциальным уравнением размножения. Искомым неизвестным уравнения (1) является функция x = x(t), которая в уравнение входит вместе со своей производной.

Решением данного уравнения является функция вида

x = Ce^kt, где С – const.

Действительно,

 = (Ce^kt)  = С∙ e^kt ∙ k = k(Ce^kt) = kx.

Радиоактивный распад. Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна начальному количеству радия.

Таким образом, если через x(t) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, то скорость распада  удовлетворяет уравнению:  = - kx(t), где k – некоторая положительная постоянная.. Знак минус показывает, что x(t) – убывающая функция, следовательно < 0.

Уравнение  = - kx(t) называется дифференциальным уравнением радиоактивного распада.

Определение. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если в нем одна независимая переменная.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - сводится к простейшему дифференциальному уравнению

y ^/ = f(x).

Общее решение этого уравнения есть

где С – произвольная постоянная, а под интегралом понимается одна из первообразных функции f(x).

Определение. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка y ^/ = f(x,у) в области D называется функция y = φ(x, С), обладающая следующими свойствами:

1) она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2) для любого начального условия y(x₀) = y₀ такого, что (x₀, y₀) D, существует единственное значение С = С₀, при котором решение y = φ(x, С) удовлетворяет заданному начальному условию.

3) Всякое решение y = φ(x, С₀), получающееся из общего решения y = φ(x, С) при конкретном значении С = С₀, называется его частным решением.

Пример. Решить уравнение  = 2t + 3t².

=

= 2t + 3t²

Интегрируя, обе части уравнения, получим:

x (t) = + C – общее решение дифференциального уравнения.

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y ^/ = f(x,у), удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Пример.

1) Решите задачу Коши - 3 x² - 6 x + 7 = 0, y (1) = 6.

= 3 x² + 6 x - 7

Интегрируя, обе части уравнения, получим:

- общее решение дифференциального уравнения.

Используя, начальные условия, найдем С.

-3+С = 6

С = 9

Таким образом,  - частное решение дифференциального уравнения.

2) Является ли функция  решением дифференциального уравнения .

Так как функция  является решением дифференциального уравнения, то подставим данное решение в уравнение.

В уравнение входит производная функции y, найдем ее:

Подставим найденное значение производной и значение самой функции в исходное уравнение:

Таким образом, , следовательно, функция  не является решением дифференциального уравнения.

3) Является ли функция  решением дифференциального уравнения .

Найдем производную функции :

.

Подставим найденное значение dy и значение самой функции в уравнение:

Так как 0 = 0 следовательно, функция  является решением дифференциального уравнения .

4) Найти решение задачи Коши:    y(1) = 3

Найдем общее решение данного дифференциального уравнения:

,

где С – произвольная постоянная. Пользуясь начальным условием, имеем y(1) = 1² + 1 + C = 3. Следовательно С = 1, и искомое решение будет иметь вид .

5) Найти решение задачи Коши:    x(1) = 2

Найдем общее решение данного дифференциального уравнения:

где С – произвольная постоянная. Пользуясь начальным условием, имеем

x(1) = 1³ -2 ln1 + 5 ∙1 + C = 2 → 6 + C = 2 → C = - 4. Следовательно, искомое решение имеет вид: .