Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

сходится, если  и расходится, если  

Признак Даламбера.

Если члены ряда положительны и существует предел

то при  ряд сходится;

при  ряд расходится;

при  вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.

Радикальный признак Коши.

Если члены ряда положительны и существует предел

то при  ряд сходится;

при  ряд расходится;

при  вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.

 

Чтобы исследовать сходимость ряда с положительными членами

где U_n содержит произведения многих сомножителей (например, факториалы) необходимо выполнить следующие действия..

Если при вычислении предела

можно сократить множители в числителе и знаменателе дроби , то обычно применяют признак Даламбера.

1. Проверим, что U_n>0 при всех

2. Найдем . Для этого в формуле определения общего члена ряда U_n заменим n на n+1.

3. Вычислим предел

4. Применим признак Даламбера.

Пример.Исследовать сходимость ряда .

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех

2. Найдем :

3. Вычислим предел

4. Применим признак Даламбера. Так как k=0<1, то ряд  сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех

2. Найдем :

3.Вычислим предел

4. Применим признак Даламбера. Так как  вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.

5. Используем необходимый признак сходимости ряда

Т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда, делаем вывод, что предложенный ряд  расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех

2. Найдем :

3.Вычислим предел

4. Применим признак Даламбера. Так как , то ряд  расходится.

 

Чтобы исследовать сходимость ряда с положительными членами

где  существует и легко вычисляется необходимо выполнить следующие действия.

Если  имеет, например, вид или то  существует и легко вычисляется. В таком случае обычно применяют радикальный признак Коши.

1. Проверим, что U_n>0 при всех

2. Вычислим предел

3. Применим радикальный признак Коши.

  Замечание. Полезно иметь в виду, что

,

где P(n) – многочлен относительно n.

Пример.Исследовать сходимость ряда

Общий член ряда имеет вид , где

1 способ.

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех  

2. Вычислим предел 

3. Применим радикальный признак Коши. Так как , то ряд

расходится.

2 способ.

Нарушается необходимый признак сходимости ряда :

а не ноль. Следовательно, ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Определение. Ряд вида

         =            

где  и два любых соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.

Исследование сходимости таких рядов проводится на основании теоремы Лейбница – достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема (Лейбница) Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) его члены монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

         и

2) его общий член U_n стремится к нулю при , т.е.

Замечание. Сумма такого ряда положительна и не превосходит первого члена ряда

По знакочередующемуся ряду  можно построить соответствующий ему знакоположительный ряд

                      = .