Свойства определенного интеграла.

1. - интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

2. - - перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака.

3. - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. - интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих функций (свойство линейности).

5. Если f(x) £ j(x) на отрезке [ a, b] a < b, то .

6.  - иинтеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину отрезка интегрирования.

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a, b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

которая называется формулой Ньютона–Лейбница.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка [ a, b].

Пример. Вычислить определенный интеграл.

1)      

2)

Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.

Наиболее простая геометрическая задача: найти площадь фигуры, границы которой определены уравнениями соответствующих линий и осью OX. В этом случае рассматривается криволинейная трапеция, о которой говорилось выше (рис. 1.) и используется геометрический смысл определенного интеграла как предел суммы площадей маленьких прямоугольников, образующих ступенчатую фигуру. Элементом площади в прямоугольной декартовой системе координат, полученным в процессе построения интегральной суммы, в этом случае служит прямоугольник площадь которого , Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле             

S =    

S =

где S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y= f(x), отрезком [ a, b] на оси Ох и прямыми x= a и x= b,(a< b).

 

Пример:

                                                      

 

При построении графиков функций, могут получиться следующие случаи:

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y = f (x); y = 0; x = a; x = b.

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y = f (x); y = g (x); y = 0, x = a; x = b.

y   a                         c    b x

+

3. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y = f (x); y = 0; x = a; x = b

y                                                                       a        b                                                              x

4. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y = f (x); y = g (x)

y                           y=f(x)       a                       b             x

Пример:

1)

 

 

Пример:

Найдём из уравнения

Пример: