Свойства неопределенного интеграла

1) , так как F’(x) = f(x).

2) .

Таким образом, операции интегрирования и дифференцирования – взаимно обратные!

3) , то есть, интеграл суммы равен сумме интегралов.

4) , то есть, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5)

Пример. Найти интегралы.

1)

2)

3)

 

Методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование (с помощью таблицы интегралов).

Определение. Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

1. тождественное преобразование подынтегральной функции;

2. применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;

3. использование таблицы интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

Пример. Найти интегралы методом непосредственного интегрирования.

1)

2)

3)

4)

Метод замены переменной.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула:

Пример. Найти неопределенный интеграл.

Для решения интеграла необходима табличная формула , и всё дело необходимо свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае: t = 3 x + 1.

|| t

 

 

Но при замене остаётся dx.  Если осуществляется переход к новой переменной t, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву t.
Следовательно, dx нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от t.

После того, как подобрана замена, t = 3 x + 1, нужно найти дифференциал dt.

Так как t = 3 x + 1, то .

↓  ↓ t

 

Таким образом: