Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Дифференциал функции применяется при решении многих математических задач. Рассмотрим два типа задач, которые возможно рационально решить, используя понятия дифференциал. Кроме, того, мы применим дифференциал функции при решении задач профессиональной направленности.

Рассмотрим первый тип задач.  

1. Приближенные вычисления значения функции в заданной точке.

Воспользуемся формулой для приближенных вычислений значения функции

Преобразуем выражение, перенесем  в левую часть, получим: . Правая часть есть дифференциал функции. Значит, чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо воспользоваться формулой

Покажем на примере:

Пример.

Вычислить значение функции  в точке .

Для удобства счета выберем вблизи заданной точки  точку . Тогда приращение аргумента будет равно , . Вычислим значение функции в точке : .

Затем найдем дифференциал функции: .

И, учитывая, что вычислим его в точке : .

Итак, приближенное значение данной функции в точке  равно: . Обратите внимание, что без калькулятора вычислить чему равно значение функции в точке 2.04 довольно сложно, так как здесь высокая степень многочлена. А используя дифференциал, мы вычислили устно приближенное значение функции. Такие расчеты также рационально использовать в физике.

Рассмотрим второй тип задач.  

2. Вычисление приращения функции в заданной точке. Из формулы приближенного вычисления значения функции получим: . Значит

Пример. Найти приращение функции  в точке  и при приращении .

 Пример.   Предприниматель Рыбкин разводит радужную форель в своем рыбхозяйстве. Статистическим путем за годы работы он сделал вывод, что численность популяций в зависимости от времени для данных условий разведения определяется формулой . Определить изменение численности популяции форели с 3-го года и до 7 лет работы рыбхозяйства.

Решение:

Известно: ,

Вывод: За 4 года работы рыбхозяйства численность популяции увеличилась на 7784 единицы.

Пример. Вычислить приближенное значение приращения функции

При изменении аргумента от х = 1 до х = 1,001

Находим дифференциал аргумента:

Пример. Найти приближенное значение

Тогда

Пример. Найти приближенное значение ln 0,97

Пример. Найти приближенное значение

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется производной функции в точке?
2. Какая функция называется дифференцируемой?
3. Какие правила для вычисления производной Вы знаете?
4. Какую функцию называют сложной?
5. Чему равна производная сложной функции?
6. Формулы дифференцирования.
7. Что называется дифференциалом функции?
8. Механический и геометрический смысл производной.
9. Какая точка называется критической?
10. Что такое экстремумы функции?
11. Признаки возрастания и убывания функции.
12. План исследования функции.
13. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?

Задания для самостоятельного решения

Задание № 1. Найти производную функции.

1.	2.	3.
4.	5.	6. у = (х^3 – 1)(х^2 + х + 1)
7.	8. y =	9. y = -
10. y =2 x^2	11.	12.

Задание № 2. Найти вторую производную функции.

1. Найти ускорение тела, движущегося по закону s (t) = 2 t ³ + 5 t ² + 4 t (s — путь в метрах, t — время в минутах), в момент времени: a) t = 40 сек; б) t = 1 ч.

2. Найти ускорение тела, движущегося по закону s = √ t (s — путь в метрах, t — время в минутах), в произвольный момент времени t.

3. Для данных функций найти производные всех порядков.

a) у = (х + 2)^3	b) у = х ^2 — х — 1	c) у = cos х
d) у = (2 х — 1)^3	e) у = х ^5+ 4 х ^3 — 7 х ^2	f) у = (1 + х)^100

4. Доказать, что для функции у = a sin x + b cos х справедливо соотношение y ^IV= у.

5. Сколько раз нужно продифференцировать функцию у = (х ² + 1)¹⁰⁰, чтобы в результате получился многочлен 50-й степени?

6. Найти производную 100-го порядка от функции у = sin х cos² х.

7. Заполнить таблицу.

f(x)

1. Найдите производную 2-го порядка функции

1. ;	2. .	3. ;
4. .	5. ;	5. ;

Задание № 3. Найти производную сложной функции.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.

Задание № 4. Исследовать функцию и построить ее график.

Задание № 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1. f(x) = x^4-2x^2+3; [-4;3]	2. f(x) = x^4–8x^2+5; [-3;2]	3.
4.	5. ;	6.

Задание № 6. Найти дифференциал функции.

1.
4.
7.
10.

Задание № 7. Применение дифференциала функции для приближенных вычислений.

1. Вычислить значение функции  в точке .

2.   Найти приращение функции  в точке  и при приращении .

3. Вычислить приближенное значение приращения функции , при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,002

4. Найти приближенное значение , .

5. Найти приближенное значение arctg 1,02

6. Найти приближенное значение