III. Интеграл и его Приложения

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действия, обратные дифференцированию. Это действие называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Пример. Известно, что производная от некоторой функции F(x) равна 4 x³: . Нужно найти функцию F(x).

Решением этой задачи является функция x⁴, так как . Следовательно, F(x)= x⁴

Определение. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка .

Теорема. Если F(x) является первообразной для f(x) на некотором промежутке, то "С Î R j(x) = F(x) + C также является первообразной для f(x) на этом промежутке и других первообразных f(x) на этом промежутке не имеет.

Доказательство. 1) "xÎI j’(x) = F’(x) + C‘ = F’(x) = f(x), то есть, j(x) – первообразная для f(x) на I. 2) Пусть j(x) – первообразная для f(x) на I, то есть, "xÎI j’(x) = f(x). Рассмотрим G(x) = j(x) – F(x), тогда "xÎI G’(x) = j’(x) – F’(x) = 0 Û G(x) = C Û j(x) = F(x) + C, ч. т. д.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции.

Таким образом, , где СÎR.

В этом случае: – знак интеграла; f(x) – подынтегральная функция; x – переменная интегрирования; F(x) – одна из первообразных функции f(x); С – постоянная интегрирования.

Операция замены левой части этого равенства на правую называется интегрированием функции f(x).

Пример. , где СÎR.

 

Остановимся на практическом применении понятия неопределенного интеграла. Как известно, скорость движения тела представляет собой производную от пути по времени, т.е.

V = S^/(t), где S(t) – путь, пройденный телом к моменту времени t. Таким образом, если известен путь тела, то его скорость отыскивается с помощью операции дифференцирования.

Рассмотрим теперь обратную задачу. Дана скорость тела V = V(t) как некоторая функция от времени. Нужно найти путь S(t). В задаче требуется найти функцию S(t), производная от которой равна V(t), т.е. .

Таким образом, если известна скорость тела, то его путь отыскивается с помощью операции интегрирования.

Пример. Пусть . Тогда , так как . Следовательно, выражение для пути содержит семейство парабол. Для отыскания пути необходимо задать еще одно условие. Пусть известно, что в момент времени t = 1с путь, пройденный телом, равен 3м. Следовательно, S(1) = 3. Подставив в общую формулу значение t = 1, получим S(1) = 1² + С или 3 = 1+С, откуда находим С = 2. Итак,

 

Таблица основных интегралов

	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.

Пример. Найти интегралы.

1)

2)

3)

4)