Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

 

 

                                                             х₀

 

 

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

 

                                                            

                                                                 х₀

 

Определение. Точка х₀ называется точкой разрывафункции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) =  имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

 

Пример. f(x) = =            

                                                                                                          1

 

                                                                                                         0                     x

В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Асимптоты графика функции.

Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные x= a, горизонтальные y= b, наклонные y= kx+ b.

 

Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

а) Вертикальные асимптоты

График функции y = f (x) при имеет вертикальную асимптоту, если

или ,

при этом x = a точка разрыва II рода.

б) Горизонтальные асимптоты

Пусть функция y = f(x) определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая y= b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x).

Может случиться, что , а , причем и - конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов или , то график имеет, либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

в) Наклонные асимптоты

Пусть функция y = f(x) определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы и . Тогда прямая y= kx+ b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

Пример.

1) Найти асимптоты кривой .

Функция определена при , следовательно x=0 – точка разрыва.

Найдем ее односторонние пределы в точке x=0.

Так как и , то x=0 – вертикальная асимптота.

Вычислим . Горизонтальных асимптот нет.

Вычислим . Таким образом, k = 1.

Найдем  Таким образом, b = 6 и y = x + 6 – наклонная асимптота.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение предела функции точке.

2. Дайте определение предела функции на бесконечности.

3. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.

4. Дайте определение бесконечно малой функции.

5. Дайте определение бесконечно большой функции.

6. В чем заключается связь бесконечно больших и бесконечно малых функций?

7. Дайте определение непрерывности функции в точке.

8. Приведите примеры функций непрерывных в точке.

9. Дайте определение непрерывности функции на интервале.

10. Что такое точка разрыва? Точки разрыва первого и второго рода.

11. Приведите примеры точек разрыва первого и второго рода.

12. Что называется асимптотой функции?

13. Сформулируйте правило нахождения вертикальной асимптоты?

14. Сформулируйте правило нахождения горизонтальной асимптоты?

15. Сформулируйте правило нахождения наклонной асимптоты?

Задания для самостоятельного решения

Задание № 1. Вычислить пределы функций.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.

Задание № 2. Исследовать функцию на непрерывность.

1.

2.

3.

Задание № 3. Найти точки разрыва функции и определить их род.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Задание № 4. Найти асимптоты графика функции.

1.

2.

3.

 

II. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Понятие производной функции. Формулы дифференцирования.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.