Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой итерационной формуле Ньютона.

Пусть имеем функцию y(x), заданную в равноотстоящих точках  отрезка [a,b] с помощью значений ,  и т.д. Функцию y приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x₀, x₁,…, .

Имеем:

  

Где:

и        (i=0,1,…)

Здесь: , откуда ; ; ; …..

Разности высших порядков будут:

Производя перемножение биномов, получим:

  

Так как

То

Аналогично, так как:

То

Таким же способом в случае надобности можно вычислить и производ­ные функции y (x) любого порядка.

Заметим, что при нахождении производных в фиксированной точке x в качестве x₀ следует выбирать ближай­шее табличное значение аргумента.

Иногда требуется находить производные функции у в основных табличных точках x_i. В этом случае формулы численного дифферен­цирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим x= x₀, q= 0; тогда будем иметь:

и    

Пример.

1)  Найти

Значения функции

x	y	∆y	∆^2y	∆^3y
50	1,6990	0,414	-0,036	0,005
55	1,7404	0,378	-0,031
60	1,7782	0,347
65	1,8129

Здесь h=5. (десятичные разряды, как обычно, не указы­ваются; они определяются десятичными разрядами значений функции).

Используя первую строчку таблицы, на основании формулы , с точностью до разностей третьего порядка, будем иметь:

2) Вычислить приближенное значение производной функции  в точке x  = 1,05 на интервале [1; 1,3] при разбиении интевала на 3 равные части с использованием формулы, основанной на первой интерполяционной формуле Ньютона. Найти абсолютную и относительную погрешность результата.

x	y	∆y	∆^2y	∆^3y
1,0	2,7183	0,2859	0,0301	0,0032
1,1	3,0042	0,3160	0,0332
1,2	3,3201	0,3492
1,3	3,6693

Используя таблицу, в соответствии с формулой

рассчитаем приближенное значение производной функции y = e^x   в точке x  = 1,05.

Полагая x₀ = 1,0, шаг h = 0,1, x = 1,05 вычислим:

Вычислим абсолютную и относительную погрешность результата.

Учитывая, что , то , то абсолютная погрешность результата равна:

Δ = =

Относительная погрешность: ω =

Численное интегрирование

Постановка задачи

Из курса математического анализа известно, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема, то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Если первообразную функцию F(x) не удается выразить аналитически через элементарные функции или если при проведении практических расчетов подынтегральная функция f(x) задается в виде таблицы, то это приводит к необходимости замены аналитического интегрирования численными методами.

Для функции f(x), заданной в прямоугольной системе координат на интервале [a;b], этот интеграл численно равен площади, ограниченной кривой f(x), осью Ox и двумя ординатами ac и bd.

Задача численного интегрирования заключается в нахождении значения определенного интеграла через ряд значений подынтегральной функции y_i=f(x_i), заданной в точках x_i (i=0,1,…,n). Причем, x₀ = a, x_n = b. Чаще всего интервал разбивают на подынтервалы длинойh = x_i+1 - x_i.

Для получения простых формул интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования: прямоугольников, трапеций и Симпсона.

2) Метод прямоугольников

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а другая - .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, то получим формулу:

 

Если с избытком, то

Значения у₀, у₁,..., у_n находят из равенств , к = 0, 1..., n. Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

· разделить отрезок интегрирования [ a, b ] на n равных частей точками х₀= а, х₁, х₂,..., х _{n -1}, х _n = b;

· вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти у ₀ = f (x₀), у ₁ = f (x₁), у ₂ = f (x₂), у _{n -1} = f (x_n-1), у _n = f (x_n);

· воспользоваться одной из приближённых формул.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

             

Пример. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение:

Разобьём отрезок [ a, b ] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3,

х _k = a + k х
х ₀ = 2 + 0 = 2
х ₁ = 2 + 1 = 2,5
х ₂ = 2 + 2 =3
х ₃ = 2 + 3 = 3,5
х ₄ = 2 + 4 = 4
х ₅ = 2 + 5 = 4,5

f (x ₀) = 2² = 4
f (x ₁) = 2,5 ² = 6,25
f (x ₂) = 3² = 9
f (x ₃) = 3,5² = 12,25
f (x ₄) = 4² = 16
f (x ₅) = 4,5² = 20,25.

i	0	1	2	3	4	5
xi	2	2,5	3	3,5	4	4,5
f(xi)	4	6,25	9	12,25	16	20,25

 

По формуле :

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Формула трапеций

Разобьем интервал интегрирования [a;b] на n равных отрезков и восстановим из полученных точек a, х₁, x₂, …, b перпендикуляры до пересечения с графиком функции. Соединив последовательно точки пересечения, представим площадь полученной криволинейной трапеции как сумму прямолинейных трапеций, площади которых легко подсчитать. Заменив подынтегральную функцию f(x) в пределах элементарного отрезка [x_i;x_i+1] интерполяционным многочленом первой степени, получим следующие формулы для элементарных площадей:

 

Тогда общая площадь равна:

Отсюда получаем формулу трапеций:

 

              

                     

Пример. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

а)
По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть n = 3.
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: .

Точек x_i будет на одну больше, чем количество отрезков:

х _i = a + i х
х ₀ = 2 + 0 1= 2
х ₁ = 2 + 1 1= 3
х ₂ = 2 + 2 1=4
х ₃ = 2 + 3 1= 5
Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

В соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой.

Окончательно:

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть n = 5. Если n = 5, то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:

, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

i	0	1	2	3	4	5
xi	2	2,6	3,2	3,8	4,4	5
f(xi)	1,443	1,047	0,860	0,749	0,675	0,621

a = x₀ = 2 остальные значения получаем по формуле х _i= a + i х

х ₁ = 2 + 0,6 1 = 2,6
х ₂ = 2 + 0,6 2 = 3,2
х ₃ = 2 + 0,6 3 = 3,8

х ₄ = 2 + 0,6 4 = 4,4
х ₅ = 2 + 0,6 5 = 5

В результате:

Формула Симпсона

Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболами. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Рассмотрим определенный интеграл , где f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Проведём разбиение отрезка [a; b] на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через 2 n.

На практике отрезков может быть:
два: 2 n = 2
четыре: 2 n = 4
восемь: 2 n = 8
десять: 2 n = 10
двадцать: 2 n = 20
Число2 n понимается как единое число. То есть, нельзя сокращать, например, 2 n = 8 на два, получая n = 4. Запись 2 n лишь обозначает, что количество отрезков чётно. И ни о каких сокращениях речи не идёт

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

, , , … ,

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:

, где: – длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .

– сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;

– сумма членов с чётными индексами умножается на 2;

– сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков 2 n = 2.

Если у нас два отрезка разбиения 2 n = 2, то узлов будет на один больше: . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

i	0	1	2
xi	1,2	1,6	2
f(xi)	1,466970	1,422674	1

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: 2 n = 4. Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

i	0	1	2	3	4
xi	1,2	1,4	1,6	1,8	2
f(xi)	1,466970	1,475127	1,422674	1,283745	1

Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

 

больше требуемой точности: то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: 2 n = 8.

Формула Симпсона примет вид:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
f(xi)	1,466970	1,477498	1,475127	1,457738	1,422674	1,366382	1,283745	1,166619	1

Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности. Необходимо взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Итак, с точностью до 0,001

Пример. Вычислить значение определенного интеграла

Предположим, что, подынтегральная функция задана таблично:

 

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
f(xi)	1.0	0.99005	0.960789	0.913913	0.852144	0.778801	0.697676	0.612626	0.527292	0.448581	0.367879

 

Используем формулы прямоугольников:

считая, что  имеем:

Используем формулу трапеций:

Используем формулу Симпсона при2n = 10:

Формула Симпсона примет вид:

Вычислим шаг: