Основные сведения из теории степенных рядов.

Пусть задана бесконечная последовательность функций

,

имеющих общую область определения.

Определение. Функциональным рядом называется составленное из этих функций выражение                                    

                .                      

Если в членах ряда  зафиксировать значение аргумента , то получим числовой ряд

Если при  такой числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда.

Пример. Функциональный ряд

cходится в точке x = ½ и расходится в точке x = 2.

В самом деле, подставляя в условие x = ½, получим числовой ряд , который сходится.

Данный функциональный ряд расходится в точке x = 2, так как числовой ряд  является расходящимся.

Определение. Областью сходимости функционального ряда называется множество всех точек сходимости этого ряда.

Если значение  принадлежит области сходимости ряда , то можно говорить о сумме этого ряда в точке :

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной x, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной x:

- сумма ряда,

- остаток ряда,

где  а x принадлежит области сходимости.

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Числа  называются коэффициентами степенного ряда (некоторые из них могут быть равны нулю), х - независимая переменная, х ₀ – фиксированное число.

Пример. Следующие функциональные ряды

а)

б)

являются степенными рядами.

При =0 степенной ряд примет вид  

.                       

Исследование вопроса о сходимости степенного ряда  приводит к следующим выводам:

1. Степенной ряд расходится для всех значений x, кроме x=0 (при x=0 степенной ряд сходится и его сумма равна . Это тривиальный случай.)

2. Степенной ряд сходится при любом значении x. Тогда его называют всюду сходящимся.

3. Степенной ряд сходится при одних значениях x и расходится при других значениях x.

Теорема Абеля позволяет определить форму области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Если ряд сходится при некотором значении , то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях x, для которых

Если ряд  расходится при , то он расходится и при всех значениях x, для которых

Замечание. Из теоремы следует, что если при  ряд сходится, то для всех значений x из интервала ряд сходится абсолютно. Если при  ряд расходится, то он расходится для всех значений x больших  и меньших чем минус .

Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется промежуток (- R, R) такой, что для всякой точки x, которая лежит внутри этого интервала, ряд сходится (абсолютно), а для точек x, лежащих вне его, ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости.

Радиус сходимости ряда  можно определить через его коэффициенты.

Если ,

где - коэффициенты соответственно n – го и (n+1) – го членов ряда, то радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле

Ряд будет абсолютно сходится при значениях х, удовлетворяющих неравенству , т.е. для всех значений из интервала .

Если

 то

Это значит, что степенной ряд сходится при любом значении х (сходится всюду).

Если

 то

т.е. интервал сходимости вырождается в точку (ряд расходится при любом значении х, кроме х=0).

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при  и .

Чтобы найти область сходимости степенного ряда

необходимо:

1) Найти коэффициенты и   n – го и (n+1) – го членов ряда.

2) Составить отношение и взять его по абсолютной величине.

3) Найти .

Пусть этот предел равен L, тогда радиус сходимости степенного ряда а его интервалом сходимости будет интервал .

4) Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости         

Пример. Найти область сходимости ряда

1) Коэффициент n – го члена ; коэффициент (n+1) – го члена

2) Их отношение .

3) Вычислим

Радиус сходимости . Следовательно, интервал сходимости определяется неравенствами . Таким образом, ряд абсолютно сходится для всех значений х из интервала (-3,1).

4) Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости.

Подставляем в заданный ряд . Получим числовой ряд

,

который абсолютно сходится по признаку сходимости знакочередующегося ряда.

На правом конце интервала сходимости ; подставляя это значение в заданный ряд, получим

,

который расходится по теореме (предельная форма признака сравнения).

Таким образом, область сходимости степенного ряда [-3,1).

Пример. Найти область сходимости ряда

К этому ряду формула не применима, так как отсутствуют нечетные степени переменной x, т.е. ,            k = 0,1,2, …. Применяем непосредственно признак Даламбера:

Применим признак Даламбера. Так как , то ряд сходится на всей числовой прямой.