Свойства коэффициента корреляции

1. Если между величинами   X и Y существует линейная функциональная связь

то .

Действительно,             

Но     а

Cледовательно,        и     

Равенство  является необходимым и достаточным условием ли-нейной функциональной связи между величинами Х и У.

2. Чем больше угол между линиями регрессии У на Х и Х на У, тем меньше   Это наглядно иллюстрируется рисунком.

Очевидно,           следовательно,

.

Итак, с уменьшением  увеличивается  

При   и линии регрессии совпадают между собой и с прямой линейной функциональной зависимости.

3. При   отсутствует линейная корреляционная зависимость между X и Y. Отметим, что при этом может существовать нелинейная связь между X и Y (корреляционная или функциональная).

4. Если коэффициент корреляции   определен по выборке объема n из неограниченной генеральной совокупности, то можно считать коэффициент корреляции генеральной совокупности приближенно равным . При этом средняя квадратичная ошибка будет равна

При достаточно большом n (практически при ) для оценки коэф­фициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности можно пользоваться формулой

10.6. Методика вычисления  и построения линии регрессии

Методику вычислений   рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Результаты измерений угловых колебаний ведущего моста автомобиля X и угловых колебаний подрессоренной массы (галопирование) Y  сведены в корреляционную таблицу 14. Найти уравнение линейной среднеквадратической регрессии Y на X, установить тесноту связи между признаками. Для каждого интервала значений X вычислить фактические значения условных средних  и их значения по уравнению регрессии.

Расчет может быть значительно упрощен, если перейти от величин X и Y к условным вариантам по формулам

Легко убедиться в том, что при этом

           

Поэтому выборочный коэффициент корреляции   в новых обозначениях не меняется по величине и будет равен

Трудоемкость расчета связана с вычислением   Для составления корреляционной таблицы в условных вариантах добавим к исходной корреляционной таблице (поле которой выделено толстыми линиями) дополнительные строки  и столбцы

В качестве ложного нуля  для X  примем находящуюся примерно в середине вариационного ряда для X  величину   аналогично принимаем    Шаг    равен разности между двумя

со­седними вариантами:   Легко показать, что суммы элементов нижней строки и правого столбца равны между собой:

целесообразно вычислять по обеим формулам. Их совпадение должно свидетельствовать о правильности вычислений.

 

 

                                                                                                                                                               Таблица 14

 

		u	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
V			(-12)-(-6)	(-6)-0	0-6	6-12	12-18	18-24	24-30	30-36
			-9	-3	3	9	15	21	27	33
-4	-12 – (-6,4)	-9,2						2	1		3	4	-16
-3	-6,4 – (-0,8)	-3,6				1	1	3		1	6	5	-15
-2	-0,8 – 4,8	2,0			1	1	3	6	2		13	7	-14
-1	4,8 – 10,4	7,6		1	2	2	4	5			14	-4	4
0	10,4 – 16,0	13,2	1	1	2	3	3	5		1	16	-6	0
1	16,0 – 21,6	18,8	1	1	3	5	5	4	1		20	-12	-12
2	21,6 – 27,2	24,4		3	6	7	2	2	1	1	22	-21	-42
3	27,2 – 32,8	30,0	2			3		1			6	-10	-30
			4	6	14	22	18	28	5	3	100
			7	6	11	21	-4	-23	-5	-1
			-28	-18	-22	-21	0	-23	-10	-3			-125

                                                                                                                                                              

 

Величины  при большом числе наблюдений подсчитываются методом произведений, а при сравнительно малом числе наблюдений - непосредственно, исходя из определения этих величин по формулам:

аналогично

                  

Искомый коэффициент корреляции равен

Возвращаясь к старым переменным, получим

Приближенное (теоретическое) уравнение линейной регрессии примет вид

или окончательно

                                                                        (10.12)

Фактические значения условных средних, вычисленные по данным корреляционной таблицы, равны:

Аналогично

Эти значения, а также условные средние, найденные по уравнению регрессии (10.12) при  приведены ниже в таблице 15:

                                                                                              Таблица 15     

	-9	-3	3	9	15	21	27	33
По данным корреляционной таблицы	23	18,80	17,6	18,55	13,62	8,60	7,60	11,33
По уравнению регрессии	23,45	20,81	18,17	15,53	12,89	10,25	7,61	4,97

Как видно из таблицы, согласование фактически наблюдавшихся и расчетных условных средних удовлетворительное.

Эмпирическая и приближенная (теоретическая) линии регрессии Y на X  показаны на рисунке.