Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов. Задачи, связанные с такими испытаниями, сводятся к случайному бросанию точки в некоторую область.

Пусть на плоскости имеется некоторая область F и в ней подобласть f. Предполагая, что вероятность попадания случайной точки в область f не зависит ни от ее формы, ни от ее расположения в области F, а про-порциональна её площади, определим вероятность попадания случайной точки  в заданную подобласть как отношение мер областей:

.

Здесь mes – мера области: в одномерном случае – длина отрезка, в двумерном – площадь, в трехмерном – объем. Определенная таким образом вероятность называется геометрической вероятностью.

Пример. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии . На плоскость на-удачу бросается игла длиной . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь параллель.

Решение. Пусть  - расстояние от центра иглы до ближайшей па-раллели,  - угол между иглой и параллелью. Величины  и  полностью определяют положение иглы на плоскости. Очевидно, , .

Поэтому всевозможные положения иглы изобразятся точками прямо-угольника со сторонами  и  (см. рисунок). Для пересечения иглы с параллелью необходимо, чтобы .

Предельная линия   показана на рисунке. Следовательно, благоприятные исходы изобразятся точками заштрихованной области. Искомая вероятность будет равна

                                 .    

Алгебра событий

Непосредственное вычисление вероятности на основе классиче-ского определения обычно затруднительно, и в теории вероятнос­тей, как правило, применяются косвенные методы, позволяющие по известным веро­ят­ностям простых событий определять вероятности сложных событий, с ними связанных.

Раздел теории вероятностей, изучающий правила, которым под-чиняются алгебраические операции над событиями, и называется алгеброй событий (ее иногда называют также алгеброй Буля или булевой алгеброй).

 В основе алгебры событий лежат понятия суммы и произведения событий.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хо-тя бы одного из них. В частности, суммой двух событий A и B будет событие, сос­тоящее в появлении или события A или события B, или обоих вмес­те. Если события A и B несовместны, то их сумма A+B - событие, состоящее в появлении только одного из них (безразлично како­го).

Произведением событий называется событие, состоящее в совмест-ном их появлении. Произведение событий A и B обозначается знаком AB.

Геометрическая интерпретация суммы и произведения событий показана на так называемой диаграмме Венна. Если событие  - попадание случайной точки в левую область, - попадание случайной точки в правую область, то сумма событий - попадание наудачу брошенной точки в область, ограниченную внешним контуром, произведение со­бытий - в зачернённую область:

Противоположными событиями называются два единственно воз-можных несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию A, обозначается через      

Очевидно  (U - достоверное событие),  (V - не­возможное событие).

Если известны или могут быть непосредственно (на основе классиче-ского определения) найдены вероятности простых событий, то вероят-ности сложных событий вычисляются c помощью основных теорем тео-рии вероятностей.