Центральная предельная теорема

(теорема Ляпунова)

В отличие от закона больших чисел, объектом рассмотрения которого являются случайные величины, центральная предельная теорема рас­смат­ри­вает их законы распределения и устанавливает условия, при которых воз­ни­кает нормальный закон распределения:

Если случайная величина Х представляет собой сумму большого чис­ла взаимно независимых случайных величин, распределенных по различным законам, причем влияние каждой из них на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

В частности, если   - независимые случайные величи­ны, имеющие один и тот же закон распределения (не важно какой) с математи­ческим ожиданием  М(Х) и D (X), то при неограниченном увеличении n за­кон распределения суммы  неограниченно приближается к нор­маль­ному с параметрами .

Условия справедливости центральной предельной теоремы выпол-няются очень часто, например, в теории ошибок измерений, теории стрель-бы и т.д., что и объясняет особую роль нормального закона.

В практических задачах центральная предельная теорема часто при-меняется для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случай-ных величин окажется в заданных пределах.

Если  -последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями  и дисперсиями , причем n достаточно велико, а величины   сравнимы по порядку своего влияния на сумму, то вероятность попадания случайной величины  на интервал  равна

,

где     Ф(х) – функция Лапласа.

 

 

Часть вторая

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В В Е Д Е Н И Е

Математические законы теории вероятностей отражают реальные закономерности, существующие в массовых случайных явлениях природы. Теория вероятностей позволяет определить теоретическим путем вероят­ностные характеристики одних явлений по известным характеристикам дру­гих, найденным в результате опыта, и тем самым прямо или косвенно опирается на экспериментальные данные.

Предметом математической статистики как науки и является раз­ра­ботка методов регистрации и анализа статистических эксперимен­таль­ных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случай­ных явлений.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, на предельных теоремах которой базируется большинство ее выводов.

Математическую статистику нередко определяют как науку о приня­тии решений в условиях неопределенности. Объясняется это тем, что, напри­мер, для определения закона распределения случайной вели­чины необ­ходимо располагать большим количеством опытных данных. Но на прак­тике из-за сложности постановки и проведения экспериментов, их дороговизны, ограниченности сроков исследования объем необходимой информации может быть весьма ограниченным. Методы математической статистики позволяют, тем не менее, с оцениваемой точностью получить необходимые сведения об изучаемых величинах по имеющейся неполной ограниченной информации.

В зависимости от характера решаемых практических задач и объема имеющихся экспериментальных данных различают следующие основные задачи математической статистики:

1. Оценка неизвестного закона распределения случайной величины.

Она ставится так: известно, какие значения принимает случайная величина в результате опытов. Требуется оценить неизвестную функцию распределения.

2. Оценка неизвестных параметров распределения.

Нередко из-за крайне ограниченного объема опытных данных задача оценки неизвестного закона распределения исследуемой случайной вели­чины вообще не ставится. С другой стороны, характер закона распреде­ления качественно может быть известен еще до опытов. Например, если удовлетворяются условия теоремы Ляпунова, можно утверждать, что слу­чай­ная величина подчинена нормальному закону, параметры которого – математическое ожидание и дисперсия – неизвестны.

Поэтому вторая задача ставится так: известна функция распре­деления случайной величины с точностью до k неизвестных параметров, от которых она зависит. Требуется по данным наблюдений случайной вели­чины найти эти параметры.

3. Проверка правдоподобия статистических гипотез.

На основании некоторых соображений можно предположить, что случайная величина X имеет функцию распределения F (x). Требуется вы­яс­нить, совместима ли принятая гипотеза о распределении Х с наблю­даемыми в опытах значениями случайной величины, то есть действительно ли F (x) будет функцией распределения случайной величины.

Содержание математической статистики далеко не исчерпывается вышеперечисленными основными задачами. Ввиду большой важности для практических приложений в математической статистике развиваются и такие разделы, как корреляционный анализ и регрессионный анализ (изучающие зависимость между случайными величинами), дисперсионный анализ (выяв­ляющий влияние значимости отдельных качественных факторов на результат эксперимента), дискриминантный анализ (решающий задачу различения, то есть позволяющий определить, основываясь на результатах наблюдений, какой из нескольких возможных совокупностей принадлежит объект, случай­но извлеченный из одной из них), после­до­вательный анализ (разраба­тывающий способы определения числа необхо­димых испытаний в ходе исследования), теория планирования многофак­торных экспериментов, статистический анализ случайных процессов и др.

В настоящем пособии рассмотрены основные понятия математической статистики, наиболее часто используемые и определяемые в процессе стати­сти­ческой обработки опытных данных. Даны 30 вариантов домаш­него задания для самостоятельной работы студентов.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Понятие о выборочном методе