Точность оценки. Доверительный интервал

И доверительная вероятность

Точечные оценки параметров распределения при выборках малого объема могут существенно отличаться от действительных значений оцениваемых параметров. Поэтому в статистике часто пользуются интервальными оценками(особенно при небольшом числе наблюдений), которые служат для оценки точности и надежности точечных оценок. Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, в котором заключено неизвестное значение параметра.

Пусть для неизвестного параметра θ найдена по данным выборки несмещенная оценка θ ^*. Чтобы оценить возможную при этом ошибку, назначим некоторую достаточно большую вероятность γ такую, что любое событие, происходящее с вероятностью γ, можно считать практически достоверным. Найдем далее такое ε > 0, при котором с вероятностью γ можно утверждать, что отклонение θ^* от θ по модулю не будет превосходить ε, то есть

  или 

Величина ε называется точностью оценки. Вероятность γ, с которой осуществляется неравенство , называется доверительной вероятностью илинадежностью оценки. Обычно γ задается равным 0,95; 0,99; 0,999.

Интервал  , в котором с надежностью γ заключено неизвестное значение параметра θ, называется доверительным интервалом. Так как длина интервала и положение его на оси абсцисс, определяемое центром θ ^*, случайны, то говорят, что доверительный интервал I _γ накрывает неизвестный параметр θ  с заданной надежностью γ.

7.7. Доверительный интервал для оценки

Генеральной средней при известном  среднем

Квадратическом  отклонении

Пусть для случайной величины X  с неизвестной генеральной средней  по данным выборки объема n найдена точечная оценка  Будем предполагать для простоты, что  известно. Для построения доверительного интервала необходимо найти такое , чтобы выполнялось неравенство

.

Воспользуемся тем, что   как сумма независимых одинаково распределенных случайных величин X_i при достаточно большом n (а практически уже при n >10-20)  согласно теореме Ляпунова имеет закон распределения, близкий к нормальному. Итак, считая, что X распределена по нормальному закону с параметрами  (так как -несмещенная оценка) и , можно записать

                              .

Учитывая, что вероятность Р задана и равна γ, получим       

где число  называется квантилем нормального распределения и определяется из условия 

.

Следовательно, с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал  накрывает генеральную среднюю . Точность оценки при этом .

Выражение для       зависит от вида выборки. Так, для повторной выборки

                                         

для бесповторной выборки     

                                           

Замечания.

1. По условию генеральная дисперсия  предполагается известной, но если это не так, то для неë используется соответствующая точечная оценка.

2. Из формулы   с учетом выражений для   получаем:

для повторной выборки

                                                      ,                                     (7.7) для бесповторной выборки

                                                    .                                  (7.8)

Следовательно, если требуется оценить генеральную среднюю с наперëд заданной точностью ε и надежностью γ, то потребный объем выборки определяется по формулам (7.7), (7.8) соответственно для повторной и бесповторной выборок.

Пример. В условиях примера (стр. 106) построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительный вероятности γ=0,95 в предположении, что выборка является повторной.

Так как мм, мм, то заменяя  его оценкой , получим

По таблице функции Лапласа (см. Приложение 2) находим t  при заданном γ=0,95:     

и

Точность оценки

Границы доверительного интервала

.

Следовательно, с надежностью 0,95 можно утверждать, что генеральная средняя   заключена в пределах

Отметим, что повышение надежности оценки γ приводит к возрастанию Φ (t), ε и доверительного интервала, то есть к уменьшению точности определения действительного значения параметра.

Пример. В условиях примера (стр. 98) найти с надежностью 0,95 точность γ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков и доверительный интервал для математического ожидания диаметров. Предполагается, что диаметры распределены нормально; выборка повторная.

Для рассматриваемой выборки выборочная средняя  

 Поэтому  

,       и

Пример. Определить необходимый объем повторной и бесповторной выборок для определения средней продолжительности горения электрических лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 предельная ошибка выборки не превышала 50 часов. Объем всей партии лампочек – 5000 шт. Генеральное среднее квадратическое отклонение принять равным 150 часов.

По условию ε = 50, = 150, N = 5000, γ = 0,99, следовательно,

и t =2,58.

 

Итак, выборки должны содержать не менее 60 лампочек.

Малая выборка