Трехмерное пространство. Векторы. Линейные операции над векторами.

Определение. Вектором AB называется направленный отрезок с началом в точке А и с концом в точке В.

Краткости ради, будем обозначать вектор одной буквой; например,

a = AB (рис.2), и называть его, когда это необходимо, одномерным при n=1, двумерным при n=2 и трехмерным при n=3.

Начало вектора называют также его точкой приложения. Вектор BA называется противоположным вектору AB и обозначается − a

		B				A
				−
	a				a
A			B			Рис.2

Длиной вектора AB называется длина отрезка АВ и обозначается AB

или

a

. Длина вектора называется также модулем вектора.

Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым

и обо-

=1, то вектор

называется единичным.

значается

. Если

a

a

0

Два вектора

и

называются коллинеарными, если они лежат на

a

b

одной прямой или параллельны одной прямой (рис.3).

l1

a

a

b

l2

b

a

b

Рис

c

.3

Рис4.

Рис.5

Два вектора называются одинаково направленными

(про-

тивоположно

направленными),

если они коллинеарны и распола-

гаются по одну сторону (по разные стороны) прямой, проходящей через начала этих векторов (рис.4), (рис.5).

Определение. Два вектора a и b называются равными, если они имеют равные длины и одинаковые направления; при этом пишут: a = b.

Из этого определения вытекает, что если вектор a перемещать в Rnпараллельно самому себе, сохраняя его длину и направление, то получим тот же

вектор a.

В частности, коллинеарные векторы всегда можно расположить на одной прямой.

2

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Очевидно, компланарные векторы всегда можно расположить в одной плоскости (рис.6).

a

b

c

Рис.6

Определение. Суммой двух

векторов

a

и

b

называется вектор

c

=

a

+

b

, идущий из начала вектора

a

в конец вектора

b

, при условии, что

вектор b приложен к концу вектора a (рис.7) (правило треугольника). a

		a +
	b		b

b

a

Рис.7

Очевидно, если векторы a и b приложить к общему началу, то вектор a + b есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, выходящих из общего начала векторов a и b (рис.7) (правило параллелограмма).

Легко проверить следующие свойства суммы векторов:

1) a + b = b + a; 2) (a + b) + с = a + (b + c); 3) a + 0 = a; 4) a + (− a) = 0.

Сумма любого числа векторов может быть построена при помощи следующего правила, вытекающего из определения суммы двух векторов.

Общее правило сложения векторов. Чтобы построить сумму векторов а1,а2,...,ап, нужно к концу вектора а1 приложить вектор а2, затем к концу вектора а2 приложить вектор а3 и так далее, пока не дойдем до вектора ап. Тогда суммой а1+а2+...+ап будет вектор, идущий из начала вектора а1 в конец вектора аn(рис.8).

a 4

a 3

a 5

3

Рис. 8

Определение. Вектор с = в-а называется разностью векторов в и а, если а+с = в

b	b − a

a

(рис.9).

Из рис.9 видно, что разность двух векторов, приведенных к общему началу, есть вектор, идущий из конца вектор-вычитаемого в конец векторуменьшаемого.

Определение. Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b = α a, который имеет длину b = α a, одинаково направ-

лен с вектором а, если α > 0, и противоположно направлен вектору а, если

α < 0.

Итак, вектор α a - это вектор, коллинеарный вектору а и растянутый в α раз («растянутый» в широком смысле этого слова). При этом под вектором 0а понимается нулевой вектор 0.

Теорема. Если вектор в коллинеарен ненулевому вектору а, то существует вещественное число α такое, что в = α а.

Операции сложения векторов и произведения вектора на число связаны следующими условиями:

5)(α +β) а = αа+βа;

6)α(βа) = (αβ)а;

7)α(а+в) = αа+αв.

Свойства 5)-7) геометрически очевидны.

Рассмотрим вектор (-1)а. На основании свойства 5) имеем: а+(-1)а=0; из свойства (4) следует, что вектор (-1)а есть вектор -а, противоположный вектору а.

3. Базис. Разложение вектора по базису.

4

Определение. Упорядоченная пара (а,в) двух ненулевых двумерных векторов а и в называются базисом числовой плоскости R 2, если для любого вектора с R 2 существуют такие числа α и β, что справедливо представле-

ние
c = α a +β b	(1)

При этом числа α и β называются аффинными координатами вектора с в базисе (а,в), а равенство (1) называется разложением вектора с по базису (а,в).

Определение. Упорядоченная тройка (а,в,с) трех ненулевых трехмерных векторов а,в,с называется базисом числового пространства R 3, если для любо-

го вектора с R 3 существуют такие вещественные числа α, β, γ, что спра-

ведливо равенство
d = α а+ β в+ γ c	(2)

При этом числа α,β,γ называются аффинными координатами вектора d в базисе (а, в, с), а равенство (2) называется разложением вектора d по базису (а, в,

с).

Рассмотрим важные частные случаи базиса.

1. Пусть i,j - единичные двумерные векторы, лежащие на осях координат соответственно OX и OY. Так как они неколлинеарны, то (i,j) - базис пространства R2. Тогда, для любого вектора с R2 существуют такие числа с1 и с2, что имеет место равенство

с = с1i+c2j,

которое записывается короче: с = (с1,с2).

Найдем координаты векторов i и j в базисе (i,j).

Пусть i = (i1,i2), j = (j1,j2). Тогда

i = i1i+i2j, j = j1i+j2j.

Откуда получаем: i1 = 1, i2 = 0, j1 = 0, j2 = 1; то есть i = (1,0), j = (0,1).

Базис (i,j) называется прямоугольным базисом в пространстве R2. 2. Пусть i,j,k - единичные трехмерные векторы, лежащие на осях ко-

ординат соответственно OX,OY,OZ. Так как они некомпланарны, то (i,j,k) - базис пространства R3. Тогда, для любого вектора с R3 существуют такие числа с1,с2,с3, что имеет место равенство

с = с1i+c2j+с3k,

которое записывается короче: с = (с1,с2,с3).

Аналогично, для координат векторов i,j,k в базисе (i,j,k) имеем: i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).

Базис (i,j,k) называется прям оугольным базисом в пространстве R3. Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными арифметическими операциями над числами - координатами этих векторов. Именно справедлива следующая

теорема.

Теорема. При сложении двух векторов, разложенных по одному и тому же базису, их координаты складываются. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

5

Например, в прямоугольном базисе для векторов а=(2,3,-1), в=(3,0,1) име-

ем: 2а+3в=(13, 6, 1).

Пусть в некотором пространстве заданы произвольная ось Т и вектор АВ. Обозначим буквами А1 и В1 основания перпендикуляров, опущенных на ось т из точек А и В соответственно (рис.13).

B B

A A

T

O

B1

A1

A1

B1

Рис.13

Определение. Проекцией вектора АВ на ось т называется величина вектора А 1 В 1, то есть длина вектора А 1 В 1, если ось т и вектор А 1 В 1 одинаково направлены и длина вектора А 1 В 1, взятая со знаком минус, если ось т и вектор А 1 В 1 противоположно направлены.

Пусть а=АВ. Проекцию вектора а на ось т обозначают символом - прmа. Выясним геометрический смысл координат вектора в прямоугольном ба-

зисе.

Пусть a вектор из пространства R2, в котором задана прямоугольная сис-

тема координат OXY, и пусть а1	= прха и а2 = пруа проекции вектора а на оси
OX и OY соответственно. Тогда (рис.14)
		а = а1i+а2j		(9)
y
B2		B
a2j
A2		A
j		a1i
	i	A1	B1	x
		Рис. 14
Аналогично, если а - трехмерный вектор и а1			= прха, а2 = пруа, а3 = прzа
проекции этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно, то имеем (рис.15):
	а = а1i+a2j+a3k			(10)

		6
		z
	C1
		A
	O	y
		B1
x	A1

Рис. 15 Из формул (9) и (10) вытекает геометрический смысл координат вектора:

координаты вектора в прямоугольном базисе являются проекциями этого вектора на соответствующие оси.

Из теоремы Пифагора вытекают формулы для длины вектора:

				a		=		a 1	2 + a 2	2 - для двумерного вектора;	(11)
	a		= a 2				+ a 2		+ а 2	- для трехмерного случая.	(12)
			1					2	3

Определение. Углом наклона вектора а к оси m называется угол ϕ

между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление вектора а, другой - направление оси m (рис16).

B

ϕ

A

M

m

Рис.16

Теорема. Проекция вектора а на ось m равна длине вектора а, умноженной на косинус ϕ угла наклона вектора а к оси m, то есть

прmа =		асos ϕ.	(13)

Определение. Направляющими косинусами вектора а называются косинусы углов наклона α, β, γ к осям соответственно OX, OY, OZ, то

есть числа cosα,cosβ,cosγ.

Для трехмерного вектора а=(а1,а2,а3), заданного прямоугольными координатами, формула (13) дает формулы, выражающие координаты вектора а

через его длину и направляющие косинусы:
a1 = a cosα, a2 = a cosβ, a3 = a cos γ.

Билет 28