Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.

Билет 1

1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Билет 2

Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.

Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.

где

1.

2.

3.

4.

Матрица, полученная заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной, к данной.

1.

2.

Билет 3,4

Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

1.

2.

3.

Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

Свойства:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.

8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения.

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-либо строки.

Билет

Определители второго, третьего, n-го порядка

Билет

Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.

1.

2.

3.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

Билет

Билет

Доказательство.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

3. Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

4. Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

К началу страницы

Билет

Система векторов линейного пространства называется максимальной линейно независимой системой в , если она линейно независима, а при добавлении к ней любого вектора из становится линейно зависимой. Линейное пространство называется конечномерным, если в нем можно найти хотя бы одну конечную максимальную линейно независимую систему векторов. Всякая максимальная линейно независимая система векторов конечномерного линейного пространства называется его базисом. Если линейное пространство над полем , то его нулевой вектор 0 сам составляет линейное пространство над полем . Это линейное пространство обозначается О и называется нулевым линейным пространством. Поскольку нулевое линейное пространство состоит из одного нулевого вектора, то в нем нет линейно независимых векторов, и нет максимальной линейно независимой системы векторов. Нулевое линейное пространство не имеет базиса. Для базисов линейного пространства имеют место следующие утверждения:

1. Все базисы состоят из одного и того же числа векторов.

Если число векторов в базисе линейного пространства L равно , то линейное пространство называется - мерным и обозначают Ln, а число называется размерностью линейного пространства. Нулевое линейное пространство не имеет базиса. Оно называется линейным пространством размерности 0.

2. Всякая система из линейно независимых векторов -мерного линейного пространства является его базисом, а любая система, содержащая вектор, линейно зависима, любая линейно независимая система состоит не более чем из векторов.

3. Всякая линейно независимая система векторов -мерного линейного пространства , , содержится в некотором базисе .

4. Всякую линейно независимую систему векторов -мерного линейного пространства , , можно дополнить до базиса .

5. Если базис линейного пространства , то любой вектор можно разложить по базису, т. е. представить в виде Это разложение для единственно. Коэффициенты называются координатами вектора в базисе .

Пример 1. Доказать, что многочлены cоставляют базис пространства Pn(x) Указать размерность этого пространства и координаты многочлена а0+а1х+…+аnxn в этом базисе.

Решение. Система многочленов является линейно независимой, так как f0∙1+f1∙x+…+fn∙xn = 0 в том и только в том случае, когда f0 = f1 =…= fn= 0. Если к этой системе многочленов добавить любой многочлен вида из Pn(x), то получим линейно зависимую систему, так как многочлен является линейной комбинацией многочленов .

Действительно, Следовательно, система многочленов является базисом линейного пространства Pn(x), размерность его равна n+1. Координатами многочлена в этом базисе являются числа .

Пример 2. Доказать, что матрицы составляют базис линейного действительного пространства M2 матриц второго порядка Указать размерность пространства M2. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Согласно определению нужно доказать, что система векторов E1, E2, E3, E4 линейно независима и любая матрица из M2 является их линейной комбинацией. Система E1, E2, E3, E4линейно независима. Так как произвольная матрица может быть представлена в виде: , то E1, E2, E3, E4 составляют базис пространства M2 и размерность его равна 4.

Координаты вектора есть 2, −3, 0, 4, т. к. .

Пример 3. Пусть е1,…,еn базис пространства L. Каждому вектору х L поставим в соответствие строку его координат хе в этом базисе Тогда справедливы следующие утверждения:

1) векторы тогда и только тогда линейно зависимы (независимы), когда их координатные строки линейно зависимы (независимы);

2) если вектор u линейно выражается через систему , т. е. , то это же верно для строк , причем и обратно;

3) ранг системы векторов равен рангу системы их строк .

Замечание 1. Приведённые утверждения в примере 3 можно сформулировать и для столбцов, т. е. если каждому вектору х L поставить в соответствие столбец его координат хе в этом базисе

Замечание 2. Понятие базиса системы векторов и ее ранга вводится аналогично. Если – некоторая система векторов из L, то всякая ее максимальная линейно независимая подсистема называется базисом этой системы. Оказывается, все базисы системы векторов содержат одно и то же число векторов. Число векторов, составляющих базис системы векторов, называется ее рангом.

Пример 4. Найти базис и ранг системы многочленов , , , , .

Решение. Согласно приведённым в предыдущей задаче утверждениям составим матрицу, строки которой являются координатными строками данных многочленов. Так как эта матрица имеет вид и ее миноры , , , то ранг этой матрицы равен 3. Следовательно, ранг системы координатных строк, а потому и ранг системы многочленов равен 3. Один из базисов составляют те многочлены, координатные строки которых вошли в минор М3, т. е. , , .

Пример 5. Показать, что в линейном -мерном пространстве критерием линейной независимости векторов служит отличие от нуля определителя, составленного из координатных строк этих векторов.

Решение. Пусть – векторы из , а – их координатные строки. Составим матрицу

.

Так как эта матрица квадратная и ее строки линейно независимы, то .

Проводя рассуждения в обратном порядке, мы приходим к следующему заключению: если определитель порядка , составленный из координатных строк векторов из , отличен от нуля, то система этих векторов линейно независима.

Пример 6. Доказать, что многочлены составляют базис пространства . Найти координаты вектора 3х2−х−3 в этом базисе.

Решение. Составим определитель из координатных строк этих векторов

Так как этот определитель отличен от нуля, то система векторов линейно независима. Так как пространство имеет размерность 3, то всякая линейно независимая система из трех векторов составляет базис. Поэтому – базис пространства Найдем координаты вектора в этом базисе: . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного

Решая систему, получаем , , – координаты многочлена в базисе .

Билет 10

Рассмотрим матрицу

.

Выделим в ней k-строк и k-столбцов (k≤(min(m,n))). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А, отличные от нуля.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Ранг матрицы А обозначается r(A). Если r(A)=r(B), то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут A ̴ ∼ В.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (столбец), то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Под элементарными преобразованиями понимают:

• Перестановку строк матрицы;
• Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
• Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на произвольное число.

При вычислении ранга матрицы могут быть использованы элементарные преобразования, метод приведения матрицы к ступенчатому виду, метод окаймляющих миноров.

Метод приведения матрицы к ступенчатому виду заключается в том, что при помощи элементарных преобразований данная матрица приводится к ступенчатой.

Матрица называется ступенчатой, если в каждой ее строке первый ненулевой элемент стоит правее, чем в предыдущей (т. е. получаются ступеньки, высота каждой ступеньки должна быть равна единице).

Примеры ступенчатых матриц:

Примеры не ступенчатых матриц:

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы:

РЕШЕНИЕ:

Приведем данную матрицу к ступенчатой с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первую и третью строки.

2. Получим в первом столбце нули под единицей.

Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-3), к третьей – первую, умноженную на (-5), к четвертой – первую, умноженную на (-3), получим

Для того чтобы было понятней где еще нужно получить нули, нарисуем ступеньки в матрице. (Матрица будет ступенчатой, если везде под ступеньками будут нули)

3. Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на (-1), к четвертой – вторую, умноженную на (-1), получим нули под ступеньками во втором столбце.

Если нарисовать опять ступеньки, увидим, что матрица ступенчатая.

Ее ранг равен r=3 (число строк ступенчатой матрицы, в каждой из которых хотя бы один элемент отличен от нуля). Следовательно, ранг данной матрицы r=3.

Решение можно записать так:

(римскими цифрами обозначены номера строк)

Ответ: r=3.

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k называется окаймляющим минор.

Метод окаймляющих миноров основан на том, что ранг данной матрицы равен порядку такого минора этой матрицы, который отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю.

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы:

РЕШЕНИЕ:

Найдем теперь ранг этой матрицы методом окаймляющих миноров.

Среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, например 5. Среди окаймляющих его миноров есть отличный от нуля, например

Среди миноров, окаймляющих этот минор, есть отличный от нуля, например

Так как единственный минор, окаймляющий последний минор равен нулю, то r=3.

Ответ: r=3.

Билет 11

Метод окаймляющих миноров

 

Находить ранг матрицы по определению — вычисляя миноры всех порядков — очень трудоемкая операция. Следующий алгоритм позволяет уменьшить число рассматриваемых миноров.

 

Пусть дана матрица размеров . Будем говорить, что минор (k+l)-ro порядка окаймляет (содержит в себе) минор k-го порядка. При описании метода индексы выбранных строк и столбцов, в которых располагается минор, будем указывать, не упорядочивая их по возрастанию. При этом рассматриваемый минор и минор с упорядоченными индексами равны по абсолютной величине и, быть может, отличаются по знаку, но это для метода окаймляющих миноров не имеет никакого значения, поскольку нас интересует только ответ на вопрос: равен минор нулю или нет.

 

1. Выбираем строку и столбец так, чтобы минор 1-го порядка был не равен нулю. Если это возможно, то , иначе процесс завершается и .

 

2. Окаймляем минор , добавляя к выбранным -ой строке и -му столбцу еще строку и столбец так, чтобы минор

 

 

Если это возможно, то , иначе процесс завершается и .

 

3. Окаймляем минор , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцам новую строку и новый столбец так, чтобы получить минор . Если это удалось, то , иначе процесс завершается и .

 

Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r-го порядка , т.е. . Однако, все миноры (r+l)-ro порядка, окаймляющие его, равны нулю или не существуют (при или ). Тогда процесс завершается и .

 

 

Пример 3.6. Методом окаймляющих миноров найти ранги матриц

 

 

Решение. Матрица . 1. В этой матрице нет отличных от нуля миноров первого порядка, так как все ее элементы равны нулю. Поэтому .

 

Матрица . 1. Выбираем первую строку и первый столбец матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент . Получили минор . Следовательно, .

 

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку и еще один столбец . Получаем отличный от нуля минор второго порядка

 

Следовательно, .

 

3. Поскольку исчерпаны все строки и все столбцы матрицы , миноров, окаймляющих , нет. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Выбираем первую строку и второй столбец матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент . Получили минор . Следовательно, .

 

2. Добавляем к уже выбранным вторую строку и третий столбец. Получаем минор второго порядка . Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вместо третьего столбца возьмем первый. Тогда получим отличный от нуля минор второго порядка . Следовательно, .

 

3. Все строки матрицы исчерпаны. Миноров третьего порядка нет. Поэтому .

 

Матрица . 1. Выбираем первую строку и первый столбец матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент . Получили минор . Следовательно, .

 

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку и еще один столбец . Получили минор второго порядка . Выбор второго столбца оказался неудачным, так как получили минор, равный нулю. Возьмем вместо второго третий столбец . Получим минор . Следовательно, .

 

3. Окаймляем минор . Имеется три окаймляющих минора

 

 

Три определителя равны нулю, так как третья строка равна сумме первых двух строк. Следовательно, нельзя найти отличный от нуля окаймляющий минор 3-го порядка, т.е. ранг матрицы равен 2.

 

Замечание 3.4. Метод окаймляющих миноров позволяет уменьшить по сравнению с определением количество рассматриваемых миноров. Если в матрице размеров выбран минор r-го порядка , то количество окаймляющих его миноров (r+l)-ro порядка равно , а общее количество миноров (r+1)-го порядка гораздо больше.

 

 

Замечания 3.5.

 

1. Обоснованием этого метода служит следствие 2 теоремы 3.4. Базисным минором в матрице ступенчатого вида (см. рис. 1.4) является минор

 

составленный из столбцов, содержащих единичные элементы (в начале каждой "ступеньки"). Этот определитель треугольного вида отличен от нуля (равен 1), а любой его окаймляющий минор (если такой найдется) равен нулю, так как содержит нулевую строку.

 

2. Метод Гаусса для нахождения ранга произвольной матрицы наиболее экономичен, так как требует меньше вычислений, чем другие методы. Конечно, для матриц какого-либо специального вида (блочных, разреженных и т.п.) можно предложить более эффективные методы.

 

 

Пример 3.7. Методом Гаусса найти ранги матриц

 

 

Решение. Матрица . 1. Нулевая матрица уже имеет ступенчатый вид (см. п.2 замечаний 1.8).

 

2. Количество ненулевых строк равно нулю. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

 

 

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

 

 

В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Взяв в качестве ведущего элемента , делаем равными нулю остальные элементы первого столбца: ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (-2), к третьей строке — первую, умноженную на (-3). Получаем матрицу

 

 

У которой имеются две равные строки. По следствию 1 теоремы 3.3 одну из равных строк вычеркиваем:

 

 

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

 

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Вычеркнув предварительно нулевую строку, берем в качестве ведущего элемента , и делаем равными нулю остальные элементы первого столбца:

 

 

Последние три строки матрицы пропорциональны. По следствию 1 теоремы 3.3 две из них можно вычеркнуть:

 

 

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

 

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Заметим, что , так как (см. следствие 1 теоремы 3.4).

 

 

Пример 3.8. Даны матрицы

 

 

Найти ранги матриц: .

 

Решение. По определению имеем . Находим суммы и произведения данных матриц, а также их ранги:

 

, то есть ;

 

, то есть ;