Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы A. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица A содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы A – это определитель матрицы A, т.е. ΔA. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков": ΔA=∣∣∣∣−3−1492−2−7−419∣∣∣∣=−21. Итак, есть минор третьего порядка матрицы A, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице A всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы A, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, rangA=3. Нам требуется найти также и rangA˜. Давайте посмотрим на структуру матрицы A˜. До черты в матрице A˜находятся элементы матрицы A, причём мы выяснили, что ΔA≠0. Следовательно, у матрицы A˜ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы A˜ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: rangA˜=3. Так как rangA=rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x1, x2 и x3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA˜=n, поэтому согласно пункту №3следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение. Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. ΔA) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы Aявляется прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если ΔA=0, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если ΔA=0, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким. Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ. Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований. Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы A˜. Почему именно матрицы A˜, а не A? Дело в том, что матрица A является частью матрицы A˜, поэтому вычисляя ранг матрицы A˜ мы одновременно найдем и ранг матрицы A. A˜=⎛⎝⎜⎜−3−1492−2−7−419179−42⎞⎠⎟⎟→|меняем местами первую и вторую строки|→→⎛⎝⎜⎜−1−3429−2−4−719917−42⎞⎠⎟⎟r2−3r1r3+4r1→⎛⎝⎜⎜−100236−4539−10−6⎞⎠⎟⎟r3−2r2→→⎛⎝⎜⎜−100230−45−79−1014⎞⎠⎟⎟ Мы привели матрицу A˜ к ступенчатому виду. Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, поэтому её ранг равен 3. Следовательно, и ранг матрицы A˜ равен 3, т.е. rangA˜=3. Делая преобразования с элементами матрицы A˜ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы A, расположенные до черты. Матрица A также приведена к ступенчатому виду: ⎛⎝⎜−100230−45−7⎞⎠⎟. Вывод: ранг матрицы A также равен 3, т.е. rangA=3. Так как rangA=rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x1, x2 и x3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA˜=n, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса. Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена. Пример №2 Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1−x2+2x3=−1;−x1+2x2−3x3=3;2x1−x2+3x3=2;3x1−2x2+5x3=1;2x1−3x2+5x3=−4. на совместность. Решение Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: A˜=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1232−12−1−2−32−3355−1321−4⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы: ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1232−12−3−2−12−3553−13−412⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r2+r1r3−2r1r4−3r1r5−2r1→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−11−1112−11−1−1−12−244⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r3−r2r4−r2r5+r2→ →⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−110002−1000−12220⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r4−r3→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−110002−1000−12200⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому rangA˜=3. Матрица A (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, rangA=2. Так как rangA≠rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений). Ответ: система несовместна. Пример №3 Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x1+7x3−5x4+11x5=42;x1−2x2+3x3+2x5=17;−3x1+9x2−11x3−7x5=−64;−5x1+17x2−16x3−5x4−4x5=−90;7x1−17x2+23x3+15x5=132. на совместность. Решение Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜21−3−570−2917−1773−11−1623−500−50112−7−4154217−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→r1↔r3 →⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜12−3−57−20917−1737−11−16230−50−50211−7−4151742−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r2−2r1r3+3r1r4+5r1r5−7r1→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−2437−331−2−120−50−5027−161178−13−513⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟4r3+3r24r4−7r24r5+3r2→ →⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−2400031−11−11110−51515−1527−25−2525178−76−7676⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r4−r3r5+r2→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−2400031−11000−5150027−2500178−7600⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит n=5 неизвестных, т.е. rangA˜=rangA<n, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Ответ: система является неопределённой. Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё. Билет 14 Пустьдана система n линейных уравнений с n неизвестными. или в матричной форме А*Х=В.Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае D¹0 Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A-1, получим A-1*A*X=A-1*B Поскольку. A-1*A=E и Е*Х=Х, то X=A-1*B (4.1) Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы. Матричное равенство (4.1) запишем в виде то есть Отсюда следует, что
Но есть разложение определителя по элементам первого столбца. Определитель D получается из определителяD путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак, Аналогично: , где D2получен из D путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов: ,..., Формулы называются формулами Крамера. Итак,невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом, либо по формулам Крамера
Правило Крамера. Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.
Билет 15
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 116; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.157.186 (0.019 с.) |