Метод Гаусса нахождения ранга матрицы

 

Пусть дана матрица размеров . Для нахождения ее ранга нужно выполнить следующие действия.

 

1. Привести матрицу к ступенчатому виду (см. метод Гаусса).

 

2. В полученной матрице вычислить количество ненулевых строк. Это число равно рангу матрицы .

 

Замечания 3.5.

 

1. Обоснованием этого метода служит следствие 2 теоремы 3.4. Базисным минором в матрице ступенчатого вида (см. рис. 1.4) является минор

 

составленный из столбцов, содержащих единичные элементы (в начале каждой "ступеньки"). Этот определитель треугольного вида отличен от нуля (равен 1), а любой его окаймляющий минор (если такой найдется) равен нулю, так как содержит нулевую строку.

 

2. Метод Гаусса для нахождения ранга произвольной матрицы наиболее экономичен, так как требует меньше вычислений, чем другие методы. Конечно, для матриц какого-либо специального вида (блочных, разреженных и т.п.) можно предложить более эффективные методы.

 

 

Пример 3.7. Методом Гаусса найти ранги матриц

 

 

Решение. Матрица . 1. Нулевая матрица уже имеет ступенчатый вид (см. п.2 замечаний 1.8).

 

2. Количество ненулевых строк равно нулю. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

 

 

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

 

 

В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Взяв в качестве ведущего элемента , делаем равными нулю остальные элементы первого столбца: ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (-2), к третьей строке — первую, умноженную на (-3). Получаем матрицу

 

 

У которой имеются две равные строки. По следствию 1 теоремы 3.3 одну из равных строк вычеркиваем:

 

 

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

 

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Вычеркнув предварительно нулевую строку, берем в качестве ведущего элемента , и делаем равными нулю остальные элементы первого столбца:

 

 

Последние три строки матрицы пропорциональны. По следствию 1 теоремы 3.3 две из них можно вычеркнуть:

 

 

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

 

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

 

Заметим, что , так как (см. следствие 1 теоремы 3.4).

 

 

Пример 3.8. Даны матрицы

 

 

Найти ранги матриц: .

 

Решение. По определению имеем . Находим суммы и произведения данных матриц, а также их ранги:

 

, то есть ;

 

, то есть ;

 

, то есть ;

 

, то есть ;

Билет 12

Теорема Кронекера – Капелли

Линейной системой m уравнений с n неизвестными (ЛСУ) называется система вида

(2.7)

где – коэффициент (число) при неизвестном в i -м уравнении; – свободный член в этом уравнении,

Решением ЛСУ называется такая упорядоченная совокупность чисел что при подстановке вместо соответственно в каждое уравнение системы все уравнения обращаются в верные равенства. ЛСУ называется совместной, если существует хотя бы одно решение системы (одна совокупность ), в противном случае – несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений.

Чтобы решить систему, сначала надо выяснить, совместна ли она. Для ответа на этот вопрос введем матричную запись ЛСУ.

Матрица

(2.8)

составленная из коэффициентов при неизвестных ЛСУ, называется основной матрицей системы, а матрица

(2.9)

которая получается добавлением в матрицу А столбца из свободных членов, называется расширенной матрицей ЛСУ.

Введем также матрицы-столбцы

,(2.10)

где X и В – матрицы неизвестных и свободных членов.

Тогда, используя правило умножения матриц и определение равенства двух матриц, запишем ЛСУ в матричном виде:

(2.11)

Теорема Кронекера – Капелли. Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы r(A) = при этом, если

1) то система определена и имеет единственное решение;

2) r < n, то система не определена и имеет бесконечное множество

решений.

Пример 7. Данасистема линейных уравнений:

Записать приведенную систему в матричном виде и исследовать ее на совместность.

Решение.

Введем основную и расширенную матрицы системы:

; , матрицы-столбцы ; , тогда система запишется в виде матричного уравнения:

Для вычисления r(А) и выполним элементарные преобразования над матрицей , так как матрица А является частью матрицы и .

Столбец из свободных членов в отделим вертикальной чертой и в процессе преобразований не будем его менять местами с другими столбцами матрицы А.

Выполняя элементарные преобразования над матрицей описанные в подразд. 1.5, получаем:

следовательно, r(A) = 2, r() = 3 и система несовместна, т. е. не имеет решений.