Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Пример.

Решите систему линейных уравнений матричным методом.

Решение.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:

Так как то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как .

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А (при необходимости смотрите статьюметоды нахождения обратной матрицы):

Осталось вычислить - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов (при необходимости смотрите статьюоперации над матрицами):

Ответ:

или в другой записи x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = -1.

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.

Билет 16

Билет 17

Множество решений системы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn.

Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы

Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.

Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r, где С1, С2, …, Сn–r – любые элементы поля Р.

(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)

10. Матрица перехода от одного базиса лп к другому и ее свойства. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса: e = (e₁, e₂, …, e_n) (назовём его старым базисом) и = (e₁', e₂', …, e_n') (назовём его новым базисом).

Разложим векторы базиса e^' по базису e:

Матрицу Т = называют матрицей перехода от базиса e кбазису . Равенства в матричном виде удобно записывать так: =е·Т.

Свойства: ,Матрица перехода невырожденная(квадратная, определитель не 0).

Преобразование координат: Пусть в линейном пространстве заданы базисы e=(e1,e2,…,en) и =(e1',e2', …,en') с матрицей перехода Т от базиса е к базису e', т.е. верно =еТ (2). Вектор а имеет в базисах е и координаты[a]e= , [a]e’= ,

a=e*[a]e=(e1,e2,…en) иa=e’[a]e’=(e1’,e2’,….en’) .

Тогда с одной стороны, а=е*[a]e, а с другой стороны а= e’[a]e’=(еТ)[a]e’

Из этих равенств получаем: а=e[a]e=е(Т[a]e'). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство [a]e = Т[a]e' (3), или

=Т (4). Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства.

Билет 18