Звуковое сопровождение лекции

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка

.

Определение

Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число, обозначаемое или , равное

.

Правило

Определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов на побочной диагонали.

Пример

.

Пример 1(для самопроверки)

Вычислите определитель .

Ответ

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

.

Определение

Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число

.

Правило треугольника

В выражение определителя со знаком '+' входят произведение элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали; со знаком '-'... (то же про побочную диагональ).

Пример

.

Пример 2(для самопроверки)

Вычислите определитель .

Ответ

Пример 3(для самопроверки)

Вычислите определитель .

Ответ

Определителем -го порядка, соответствующим матрице -го порядка, называется число, равное сумме всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца и снабженных знаками «+» или «–» по некоторому определенному правилу (строгое определение этого понятия можно найти в учебной литературе, в данном курсе оно не требуется).

Билет

Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.

1.

2.

3.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

Билет

Билет

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел (действительных или комплексных): . Отталкиваясь от определения операций над n -мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n -мерный вектор , то есть, .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .

Определение.

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Определение.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.