Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Методы решения систем линейных уравнений
Формулы Крамера используются для решения системы, основная матрица которой квадратная, невырожденная ( ). Названные формулы имеют вид: (2.12) где − главный определитель системы, т. е. (2.13) −определители, полученные из определителя заменой в нем j -го столбца столбцом свободных членов, т. е. ; ,…; ,…; . Пример 8. Решить систему по формулам Крамера и сделать проверку. Решение. Основная матрица системы невырожденная, так как Определители соответственно таковы: ; ; . Применяя формулы Крамера, находим неизвестные: Подставляя найденные значения неизвестных в каждое уравнение системы, получаем верные равенства: 2 = 2, 3 = 3, 6 = 6. Матричный метод применяется для решения системы, основная матрица которой квадратная, невырожденная (m = n = r(A) = ). В этом случае матричное уравнение приводится к виду: . Таким образом, чтобы решить систему матричным способом, необходимо записать ее в матричном виде, найти обратную матрицу к матрице А и умножить ее на матрицу В. Пример 9. Записать систему в матричном виде, решить ее матричным способом, сделать проверку. Решение. Введем матрицы Матрица А невырожденная, так как . Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А (см. подразд. 1.2): Теперь запишем обратную матрицу: Подставляя и В в матричное уравнение , получаем: . Значит, Проверку решения можно выполнить, подставляя найденные значения неизвестных в каждое уравнение системы или используя матричное уравнение. Покажем, что АХ = В. Действительно, умножая матрицу А на Х, получаем матрицу В: . Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) используется для решения систем линейных уравнений произвольного вида, т. е. для случаев, когда и Введем элементарные преобразования ЛСУ, которые приводят к эквивалентной системе, т. е. к системе, которая имеет такие же решения, что и исходная. К элементарным преобразованиям относятся: 1. умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля; 2. перестановка двух любых уравнений системы; 3. сложение одного уравнения системы с любым другим, умноженным на произвольное число; 4. перенумерация неизвестных. Очевидно, что элементарные преобразования системы соответствуют элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы этой системы. Перенумерация неизвестных соответствует перестановке столбцов основной матрицы А.
Если r = n, то с помощью указанных элементарных преобразований расширенная матрица и система приводятся к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса): (2.14) причем Из последнего уравнения системы (2.14) определяется . Подставляя найденное в предпоследнее уравнение системы (2.14), находим . Через n шагов определяются все неизвестные системы (обратный ход метода Гаусса). Если , то с помощью элементарных преобразований приводится к трапециевидной матрице того же размера, что и , в ней m строк, из них ( – нулевые, и () столбец, т. е. матрица принимает вид: ,(2.15) причем По полученной матрице (2.15) восстанавливается ЛСУ: (2.16) в которой r уравнений и n неизвестных. Полученная система (2.16), как и исходная, совместная, но неопределенная, т. е. имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, перепишем систему уравнений (2.16) в виде: (2.17) Неизвестные называются базисными, коэффициенты при них образуют минор r -го порядка, отличный от нуля (базисный минор). Неизвестные называются свободными. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, соответственно , найдем базисные неизвестные: − из последнего уравнения полученной системы (2.17); − из предпоследнего и, наконец, через r шагов − − из первого уравнения системы (2.17). Пример 10. Дана система линейных уравнений: Требуется: 1) записать расширенную матрицу системы и привести ее к трапециевидной форме; 2) определить ранги основной и расширенной матриц системы и сделать вывод о совместности системы; 3) в случае, если система совместна, восстановить по трапециевидной расширенной матрице систему уравнений, эквивалентную исходной, и решить ее методом Гаусса; 4) сделать проверку решения. Решение. 1) Запишем матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидной форме: ~ ~ ~ ~ . 2) Ранг основной матрицы равен двум, так как ее базисный минор а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы также равен двум, так как и для нее все миноры третьего порядка, уже с учетом столбца свободных членов, равны нулю. Следовательно, система совместна.
3) Восстановим по трапециевидной расширенной матрице систему уравнений, учитывая, что на последнем шаге преобразований пришлось переставлять второй и третий столбцы: В системе четыре неизвестных, а ранг равен двум, следовательно,система имеет бесчисленное множество решений и два неизвестных являются свободными (). Выбираем в качестве базисных неизвестных , , тогда будут свободными неизвестными. Перепишем систему в виде: (2.18) Пусть , где – любые числа, тогда из последнего уравнения системы (2.12) получаем: . Подставляя найденное в первое уравнение системы (2.12), находим . 4) Для проверки подставляем найденные значения в исходную систему уравненийи получаем верные равенства: Следовательно, множество решений системы имеет вид: . Билет 13
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 118; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.11.28 (0.01 с.) |